5．半橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（y≥0）$和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0，如圖所示，曲線C交x軸于A，B兩點，交y軸負半軸于點G．橢圓$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)是它的一個焦點，點P是曲線C位于x軸上方的任意一點，且△PFG的周長是$2\sqrt{2}+2$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若M是半圓x²+y²=b²（y≤0）除A，B外任意一點，C（-b，a），D（b，a），連接MC，MD分別交AB于點E，F(xiàn)，求|AE|²+|BF|²的取值范圍．

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}+m\sqrt{x}$（m∈R），若f（x）在x=4處的切線與直線16x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）令g（x）=kxe^x，對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈（0，1），總有f（x₁）≥g（x₂），求實數(shù)k的取值范圍．

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C上的動點到焦點距離的最小值為$\sqrt{2}$-1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓C上一點，若過點M（2，0）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T，滿足$\overrightarrow{OS}$$+\overrightarrow{OT}$=t$\overrightarrow{OP}$（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍．

2．已知三角形ABC的三個頂點都在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$上，其中A（0，1）．
（1）若點B，C關(guān)于原點對稱，且直線AB，AC的斜率乘積為$-\frac{1}{4}$，求橢圓方程；
（2）若三角形ABC是以A為直角頂點的直角三角形，該三角形的面積的最大值為$\frac{27}{8}$，求實數(shù)a的值．

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同，則a∈（0，+∞）時，實數(shù)b的最大值是（　　）

A．

$\frac{3}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

B．

$\frac{13}{6}$e6

C．

$\frac{1}{6}$e6

D．

$\frac{7}{2}$e${\;}^{\frac{2}{3}}$

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，短軸長為4，F(xiàn)₁、F₂為橢圓左、右焦點，點B為下頂點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P（x₀，y₀）是橢圓C上第一象限的點．
①若M為線段BF₁上一點，且滿足$\overrightarrow{PO}$=$\sqrt{6}$•$\overrightarrow{OM}$，求直線OP的斜率；
②設點O到直線PF₁、PF₂的距離分別為d₁、d₂，求證：$\frac{{y}_{0}}{3rdz5hn_{1}}$+$\frac{{y}_{0}}{rfvhpxp_{2}}$為定值，并求出該定值．

19．若x、y滿足（x-2）²+（y-2）²=1，則|$\sqrt{3}$x+y-1|-2$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-2）^{2}}$的最大值為（　�。�

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

18．已知函數(shù)f（x）=2x³+（4+$\frac{m}{2}$）x²-8x-16，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)f（x）在區(qū)間（t，3）上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．

（-$\frac{70}{3}$，+∞）

B．

（16，+∞）

C．

（-$\frac{70}{3}$，16）

D．

（-$\frac{70}{4}$，-16）

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求橢圓方程；
（2）設不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為k₁、k₂，滿足4k=k₁+k₂，試問：當k變化時，m²是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

16．設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若點P（$\sqrt{3}$，2）在橢圓E上，且c=$\sqrt{3}$，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知橢圓E的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，若過點F₁（-c，0）的直線交橢圓E于A，B兩點，且|AF₁|=3|F₁B|．證明：AB⊥AF₂．