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【題目】已知函數.
(1)當時,求函數的極值;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)設函數的極值點為,當變化時,點(,)構成曲線M.證明:任意過原點的直線,與曲線M均僅有一個公共點.
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【題目】已知數列的前項和滿足.
(1)證明數列為等差數列,并求出數列的通項公式.
(2)若不等式,對任意恒成立,求的取值范圍.
(3)記數列的前項和為,是否存在正整數,使得成立,若存在,求出所有符合條件的有序實數對(,);若不存在,請說明理由.
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【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈,其中燈桿的設計如圖所示,AB為地面,CD,CE為路燈燈桿,CD⊥AB,∠DCE=,在E處安裝路燈,且路燈的照明張角∠MEN=.已知CD=4m,CE=2m.
(1)當M,D重合時,求路燈在路面的照明寬度MN;
(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓C:(>>0)的右焦點為F(1,0),且過點(1,),過點F且不與軸重合的直線與橢圓C交于A,B兩點,點P在橢圓上,且滿足.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若,求直線AB的方程.
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【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3,D是BC的中點.
(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值;
(2) 求二面角的余弦值.
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【題目】已知數列,滿足:對于任意正整數n,當n≥2時,.
(1)若,求的值;
(2)若,,且數列的各項均為正數.
① 求數列的通項公式;
② 是否存在,且,使得為數列中的項?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左頂點為,離心率為,過點的直線與橢圓交于另一點,點為軸上的一點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若是以點為直角頂點的等腰直角三角形,求直線的方程.
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【題目】如圖,某機械廠要將長,寬的長方形鐵皮進行裁剪.已知點為的中點,點在邊上,裁剪時先將四邊形沿直線翻折到處(點,分別落在直線下方點,處,交邊于點,再沿直線裁剪.
(1)當時,試判斷四邊形的形狀,并求其面積;
(2)若使裁剪得到的四邊形面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由.
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