已知函數(shù)f（x）=2x²+ax，g（x）=lnx，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）若F（x）在x=1處取得極小值，求F（x）的極大值；
（Ⅱ）若F（x）在區(qū)間(0，

1

4

)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a=3，問是否存在與曲線y=f（x）和y=g（x）都相切的直線？若存在，判斷有幾條？并加以證明，若不存在，說明理由．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，an+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{

an-1

an-2

}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n（a_n+1-2），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜2．

將圓x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圓O，直線l與圓O相交于A、B，若在圓O上存在點C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，求直線l的方程及對應(yīng)的點C坐標(biāo)．

如圖，在直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD為梯形，BC∥AD，AA′=AB=

2

，AD=2BC=2，直線AD與面ABB'A'所成角為45°．
（Ⅰ）求證：DB⊥面ABB'A'；
（Ⅱ）求證：AD'⊥B'C；
（Ⅲ）求二面角D-AB'-B的正切值．

某跳水運動員進(jìn)行10m跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運動路線為下圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件），最高處距水面10

2

3

m，入水處距池邊的距離為4m．在某次跳水時，要求該運動員在距水面高度為5m或5m以上時，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．
（Ⅰ）求這條拋物線的解析式；
（Ⅱ）該運動員按（Ⅰ）中拋物線運行，要使此次跳水不至于失誤，那么運動員在空中調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離至多為多少米？

如圖，△ABC中，∠B=

2π

3

，AC=2，∠A=θ，設(shè)△ABC的面積為f（θ）．
（Ⅰ）若θ=

π

12

，求AB的長；
（Ⅱ）求f（θ）的解析式，并求f（θ）的單調(diào)區(qū)間．

如圖，α-l-β為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點P在l上，M∈α，N∈β，且MP和NP與l所成的角相等，則MN與β所成角為．

在數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），則這個數(shù)列的通項公式是．

計算

∫

1 0

1-x2

dx=．

在△ABC中，已知A=60°，b=4

3

，為使此三角形只有一個，則a的取值范圍為．