在長方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，M、N分別是AB與BC的中點，則直線A₁M與C₁N的位置關(guān)系是； 它們所成角的大小是；點A到對角線B₁D的距離是．

（2013•茂名二模）已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx，（a＞0）．
（1）當a=x時，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）當b=0時，令F（x）=

f(x)，x＜1 g(x)，x≥1

．P（x₁，F(xiàn)（x₁）），Q（x₂，F(xiàn)（x₂））為曲線y=F（x）上的兩動點，O為坐標原點，能否使得△POQ是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由．

（2013•茂名二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），一條直線λx-y-2λ=0（λ∈R）．所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個定點，且橢圓的離心率為

1

2

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若另一條直線與橢圓C只有一個公共點M，且直線與圓O相切于點N，求|MN|的最大值．

（2013•茂名二模）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，a₁=t，點（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，（n=1，2，…）
（1）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)t的值；
（2）設(shè)b_n=（n+1）•log₃a_n+1，數(shù)列{

1

bn

}前n項和T_n．在（1）的條件下，證明不等式T_n＜1；
（3）設(shè)各項均不為0的數(shù)列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的整數(shù)i的個數(shù)稱為這個數(shù)列{c_n}的“積異號數(shù)”，在（1）的條件下，令c_n=

nan-4

nan

（n=1，2，…），求數(shù)列{c_n}的“積異號數(shù)”

（2013•茂名二模）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點E與點C，點D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

（1）求證：BD⊥平面POA
（2）當點O 在何位置時，PB取得最小值？
（3）當PB取得最小值時，求四棱錐P-BDEF的體積．

（2013•茂名二模）某校高一級數(shù)學(xué)必修一模塊考試的成績分為四個等級，85分-100分為A等，70分-84分為B等，55分-69分為C等，54分以下為D等．右邊的莖葉圖（十位為莖，個位為葉）記錄了某班某小組6名學(xué)生的數(shù)學(xué)必修一模塊考試成績．
（1）求出莖葉圖中這6個數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)；
（2）若從這6名學(xué)生中隨機抽出2名，分別求恰好有一名學(xué)生的成績達到A等的概率和至多有一名學(xué)生的成績達到A等的概率．

（2013•茂名二模）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且B（-

3

5

，

4

5

），∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

．設(shè)四邊形OAQP的面積為S，
（1）求tan(α-

π

4

)；
（2）求

OQ

•

OA

+S的最大值及此時θ的值．

（2013•茂名二模）（幾何證明選做題）如圖所示，AB是半徑等于3的圓O的直徑，CD是圓O的弦，BA，DC的延長線交于點P，若PA=4，PC=5，則∠DBC=．