Question

17．如圖所示，水平地面BC與光滑曲面AB相切于B點(diǎn)，與內(nèi)壁光滑的$\frac{1}{4}$細(xì)圓管CD相切于C點(diǎn)，管口D正下方直立一勁度系數(shù)為k的輕彈簧，彈簧下端固定，上端恰好與管口D齊平．將質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在彈簧上端且緩慢下壓彈簧，當(dāng)彈簧壓縮的長(zhǎng)度x₁=$\frac{4mg}{k}$（其中g(shù)為重力加速度大�。�，對(duì)應(yīng)彈簧的彈性勢(shì)能E_p1=$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}}{k}$時(shí)，由靜止開始釋放物塊，物塊進(jìn)入管口D后沿DCBA軌道運(yùn)動(dòng)且不脫離軌道．已知物塊速度最大時(shí)彈性勢(shì)能E_p2=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，物塊與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，BC的長(zhǎng)度L₁=$\frac{mg}{k}$，圓管CD的半徑R=$\frac{mg}{k}$，求：
（1）物塊的最大速度v_max；
（2）物塊第一次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小v_C；
（3）物塊最終停止的位置與B點(diǎn)的距離L．

Answer 1

分析 （1）物塊速度最大時(shí)合力為零，由平衡條件和胡克定律求出此時(shí)彈簧的壓縮量，再對(duì)系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律求物塊的最大速度v_max；
（2）根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求物塊第一次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小v_C；
（3）對(duì)合程，運(yùn)用動(dòng)能定理求物塊最終停止的位置與B點(diǎn)的距離L．

解答 解：（1）物塊速度最大時(shí)合力為零，則有：mg=kx
得：x=$\frac{mg}{k}$
從釋放到速度最大的過(guò)程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
E_p1=mg（x₁-x）+$\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}$
結(jié)合x₁=$\frac{4mg}{k}$、E_p1=$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}}{k}$解得：v_max=$\sqrt{\frac{10m{g}^{2}}{k}}$
（2）從釋放到第一次到C點(diǎn)的過(guò)程，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
E_p1=mg（x₁+R）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：v_C=$\sqrt{\frac{6m{g}^{2}}{k}}$
（3）對(duì)物塊在ABC上運(yùn)動(dòng)的全程，設(shè)總路程為S，由動(dòng)能定理得：
-μmgS=0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得：S=$\frac{15mg}{4k}$=3.75L₁
所以物塊最終停止的位置與B點(diǎn)的距離為：L=L₁-0.75L₁=0.25L₁=$\frac{mg}{4k}$
答：（1）物塊的最大速度v_max是$\sqrt{\frac{10m{g}^{2}}{k}}$．
（2）物塊第一次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小v_C是$\sqrt{\frac{6m{g}^{2}}{k}}$．
（3）物塊最終停止的位置與B點(diǎn)的距離L是$\frac{mg}{4k}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題時(shí)，要理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握能量是如何轉(zhuǎn)化的，知道速度最大的條件是合力為零，滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．