Question

4．如圖所示，AB桿固定在轉(zhuǎn)軸OO′上且與轉(zhuǎn)軸間的夾角為α=45°，并能與豎直軸OO′一起轉(zhuǎn)動．質(zhì)量為0.1kg的小環(huán)，套在AB桿上并用長為0.3m、能承受的最大拉力9N的輕質(zhì)細(xì)線連接細(xì)線的另一段系在轉(zhuǎn)軸上的P點，環(huán)與AB桿間的最大靜摩擦力等于兩者間彈力的0.5倍．當(dāng)軸以角速度ω轉(zhuǎn)動時，細(xì)線始終處于水平狀態(tài)，取g=10m/s²，則（　�。�

• A． 軸轉(zhuǎn)動的角速度的最小值為$\frac{10}{3}$rad/s
• B． 將軸的角速度的最小值開始緩慢增大到18 rad/s 時細(xì)線斷裂
• C． 角速度從5 rad/s增大到10 r ad/s的過程中，桿對小環(huán)所做的功為6.75J
• D． 軸轉(zhuǎn)動的角速度為15 rad/s時，細(xì)線拉力大小為3.75N

Answer 1

分析 由于μ＜tan45°，故角速度為零時環(huán)會下滑；考慮環(huán)恰好不下滑和恰好不上滑的臨界情況，對環(huán)受力分析，受重力、拉力、支持力和靜摩擦力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，沿著水平和豎直方向，采用正交分解法列式求解，得到角速度的范圍；根據(jù)動能定理列式求解桿對小環(huán)所做的功．

解答 解：A、當(dāng)靜摩擦力沿著桿向上達(dá)到最大時，角速度最小，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向：${F_N}cosα-fsinα=m{ω^2}×0.3$，
豎直方向：F_Nsinα+fcosα=mg，
聯(lián)立解得：$ω=\frac{10}{3}rad/s$，故A正確；
B、當(dāng)細(xì)線的拉力達(dá)到最大值時，角速度最大，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向：$T+fsinα+{F_N}cosα=m{ω^2}×0.3$，
在豎直方向：F_Nsinα=mg+fcosα，
聯(lián)立解得：ω=20rad/s，故B錯誤；
C、角速度從5 rad/s增大到10 r ad/s的過程中，桿對小環(huán)所做的功等于動能的增加量，為：W=$\frac{1}{2}m（{ω}_{2}r）^{2}$-$\frac{1}{2}m{（{ω}_{1}r）}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×[（{10×0.3）}^{2}-（5×0.3）^{2}]$J=0.3375J，故C錯誤；
D、軸轉(zhuǎn)動的角速度為15 rad/s時，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向：$T+fsinα+{F}_{N}cosα=m×1{5}^{2}×0.3$，
在豎直方向：F_Nsinα=mg+fcosα，
聯(lián)立解得：T=3.75N，故D正確；
故選：AD

點評 本題關(guān)鍵是明確小環(huán)的受力情況和運動情況，結(jié)合臨界條件，根據(jù)牛頓第二定律列式得到臨界角速度，然后結(jié)合動能定理列式分析桿做的功，不難．