Question

20．如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)=8m的粗糙水平軌道MN固定在支架上，ABCD為一半徑為R=1m的圓形細(xì)管道，管道內(nèi)壁光滑，其端點(diǎn)A與圓心O的連線AO與豎直方向成θ=37°，另一端點(diǎn)D在O點(diǎn)正上方．管道ABCD與水平軌道MN在同一豎直平面內(nèi)，且水平軌道與端點(diǎn)A的高度差為H=1.8m．用水平向右的恒力F=8N作用于質(zhì)量為m=1kg．可視為質(zhì)點(diǎn)的小球上，使小球由水平軌道左端點(diǎn)M無(wú)初速開始運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)中受到的水平軌道的摩擦力恒為1N，小球向右運(yùn)動(dòng)x位移時(shí)撤去F（x＜L），此后小球恰好能無(wú)碰撞地從A端口進(jìn)入細(xì)管道．小球的直徑略小于管道的內(nèi)徑，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）N端和A端的水平距離s；
（2）外力F作用下小球運(yùn)動(dòng)的位移x的大�。�
（3）小球進(jìn)入管道經(jīng)過(guò)管道的最高點(diǎn)D時(shí)，管道對(duì)小球的壓力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球從N到A做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)下落的高度求出小球到A點(diǎn)時(shí)的豎直速度大小，由速度的分解法求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求N端和A端的水平距離s；
（2）從M到N過(guò)程中，由動(dòng)能定理求小球運(yùn)動(dòng)的位移x．
（3）由分速度的關(guān)系求出小球通過(guò)A點(diǎn)的速度．小球進(jìn)入管道后，只有重力做功，由機(jī)械能守恒求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，再由牛頓定律求解．

解答 解：（1）小球到A點(diǎn)時(shí)的豎直速度大小為：
${v_{Ay}}=\sqrt{2gH}$=6 m/s 
如圖所示，且A點(diǎn)水平分速度為：v_N=$\frac{{v}_{Ay}}{tanθ}$=8 m/s  

從N到A平拋，時(shí)間為：${t_H}=\sqrt{\frac{2H}{g}}$=0.6 s 
N端和A端的水平距離為：s=v_Nt_H=4.8 m  
（2）從M到N過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：$Fx-fL=\frac{1}{2}mv_N^2-0$
代入數(shù)據(jù)得：x=5 m 
（3）小球通過(guò)A點(diǎn)的速度為：${v_A}=\frac{{{v_{Ay}}}}{sinθ}$=10 m/s
從A到D，由機(jī)械能守恒定律有：$\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mgR（1+cos37°）$
代入數(shù)據(jù)得：v_D=8 m/s  （或者分析得到N與D等高得到v_D=8 m/s）
設(shè)在D點(diǎn)，管道對(duì)小球的作用力向下為正，由牛頓第二定律得：
${F_D}+mg=m\frac{v_D^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)求得：F_D=54 N，F(xiàn)_D方向豎直向下 
答：（1）N端和A端的水平距離s是4.8m．      
（2）外力F作用下小球運(yùn)動(dòng)的位移x的大小是5m．      
（3）小球進(jìn)入管道經(jīng)過(guò)管道的最高點(diǎn)D時(shí)，管道對(duì)小球的壓力大小為54 N，方向豎直向下．

點(diǎn)評(píng) 本題將平拋運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)及直線運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起考查，要注意分析小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握隱含的條件：小球通過(guò)A點(diǎn)的速度方向，并根據(jù)過(guò)程正確的選擇物理規(guī)律求解．