Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于Oxy平面向里。位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為＋q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子。在0~3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極板邊緣的影響）。已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場。上述m、q、l、l₀、B為已知量。（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）
（1）求電壓U的大小。
（2）求t₀時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑。
（3）何時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間。

Answer 1

解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負(fù)方向偏移的距離為l/2，則有
 ①
Eq=ma ②
l/2=at₀²/2 ③
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為 ④
（2）t₀/2時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前t₀/2時(shí)間在電場中偏轉(zhuǎn)，后t₀/2時(shí)間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)
帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為v₀=l/t₀ ⑤
帶電粒子離開電場時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為 ⑥
帶電粒子離開電場時(shí)的速度大小為 ⑦
設(shè)帶電粒子離開電場進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則有 ⑧
聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式解得 ⑨
（3）2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短。帶電粒子離開磁場時(shí)沿y軸正方向的分速度為 ⑩
設(shè)帶電粒子離開電場時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則
聯(lián)立③⑤⑩式解得
根據(jù)帶電粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，圓弧所對的圓心角為
所求最短時(shí)間為，帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為
聯(lián)立以上兩式解得