Question

9．如圖所示，從A點(diǎn)以v₀=4m/s的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，滑上長(zhǎng)木板時(shí)速度大小為6m/s．圓弧軌道C端切線水平，已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=2kg，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1，圓弧軌道半徑R=0.75m，OB與豎直方向OC間的夾角θ=37°，（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力；
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此結(jié)合牛頓第三定律求解即可；
（3）當(dāng)小物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于小物塊對(duì)木板的摩擦力大于地面對(duì)木板的摩擦力，所以木板也要做加速運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度．

解答 解：（1）在B點(diǎn)，因小物塊恰好沿切線方向進(jìn)入光滑圓弧軌道BC，所以速度的方向與水平方向之間的夾角為θ=37°，有：
v=$\frac{{v}_{0}}{cosθ}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
與水平方向夾角37°
（2）小物體在C點(diǎn)的速度v_C=6m/s，在C點(diǎn)，支持力與重力的合力提供向心力，設(shè)軌道對(duì)小物體的支持力為N，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：N=58N
根據(jù)牛頓第三定律，小物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力大小為58N
（3）小物塊在木板上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=0.5×10=5m/s²
木板在地面上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為：
a₂=$\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=$\frac{0.5×1×10-0.1×（1+2）×10}{2}$=1m/s²
設(shè)小物塊與木板達(dá)到共速時(shí)的速度為v′，
對(duì)小物塊有：v′=v-a₁t，
對(duì)木板有：v′=a₂t，
聯(lián)立解得：t=1s
小物塊的位移為：x₁=vt-$\frac{1}{2}$a₁t²=6×1-$\frac{1}{2}$×5×1=3.5m
木板的位移為：x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×1×1=0.5m
木板的最短長(zhǎng)度L與兩者之間的位移關(guān)系有：L=x₁-x₂
聯(lián)立解得：L=3m
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s，方向與水平方向夾角37°；
（2）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力為58N；
（3）長(zhǎng)木板至少為3m時(shí)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，要注意對(duì)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分段，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，注意相對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的分析，同時(shí)要注意牛頓第三定律的應(yīng)用，這是一個(gè)較容易忽視的問題．