Question

19．為了探究電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速與彈簧伸長(zhǎng)量之間的關(guān)系，小明設(shè)計(jì)了如圖所示的裝置．半徑為l的圓形金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，一根長(zhǎng)也為l、電阻為R的金屬棒ab一端與導(dǎo)軌接觸良好，另一端固定在圓心處的導(dǎo)電轉(zhuǎn)軸oo’上，由電動(dòng)機(jī)A帶動(dòng)旋轉(zhuǎn)．在金屬導(dǎo)軌區(qū)域內(nèi)存在垂直于導(dǎo)軌平面，大小為B₁、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．另有一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒cd用輕質(zhì)彈簧懸掛在豎直平面內(nèi)，并與固定在豎直平面內(nèi)的“U”型導(dǎo)軌保持良好接觸，導(dǎo)軌間距為l，底部接阻值也為R的電阻，處于大小為B₂、方向垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，從圓形金屬導(dǎo)軌引出導(dǎo)線和通過電刷從轉(zhuǎn)軸引出導(dǎo)線經(jīng)開關(guān)S與“U”型導(dǎo)軌連接．當(dāng)開關(guān)S斷開，棒cd靜止時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x₀；當(dāng)開關(guān)S閉合，電動(dòng)機(jī)以某一速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，棒cd再次靜止，彈簧伸長(zhǎng)量變?yōu)閤（不超過彈性限度）．不計(jì)其余電阻和摩擦等阻力，求此時(shí)
（1）通過棒cd的電流I_cd；
（2）電動(dòng)機(jī)對(duì)該裝置的輸出功率P；
（3）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω與彈簧伸長(zhǎng)量x之間的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）S斷開和閉合時(shí)，根據(jù)平衡條件列式，即可求出棒cd的電流；
（2）電動(dòng)機(jī)對(duì)該裝置的輸出功率等于回路電阻上消耗的熱功率；
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出回路總電流，聯(lián)立（2），即可得出電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω與彈簧伸長(zhǎng)量x之間的函數(shù)關(guān)系

解答 解：（1）S斷開，cd棒靜止有：
$mg=k{x}_{0}^{\;}$
S閉合，cd棒靜止時(shí)受到的安培力為：
$F={I}_{cd}^{\;}{B}_{2}^{\;}l$
cd棒靜止有：
$mg+{I}_{cd}^{\;}{B}_{2}^{\;}l=kx$
得：${I}_{cd}^{\;}=\frac{mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$
（2）回路總電阻為：${R}_{總}(cāng)^{\;}=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R$
總電流為：$I=\frac{2mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$
由能量守恒得：$P={I}_{\;}^{2}{R}_{總}(cāng)^{\;}=\frac{6{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R（x-{x}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{{B}_{2}^{2}{l}_{\;}^{2}{x}_{0}^{2}}$
（3）由法拉第電磁感應(yīng)定律：
$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{1}{2}{B}_{1}^{\;}ω{l}_{\;}^{2}$
回路總電流為：$I=\frac{{B}_{1}^{\;}ω{l}_{\;}^{2}}{3R}$
解得：$ω=\frac{6mgR（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}{l}_{\;}^{3}{x}_{0}^{\;}}$
答：（1）通過棒cd的電流$\frac{mg（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{2}^{\;}l{x}_{0}^{\;}}$；
（2）電動(dòng)機(jī)對(duì)該裝置的輸出功率P為$\frac{6{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}R（x-{x}_{0}^{\;}）_{\;}^{2}}{{B}_{2}^{2}{l}_{\;}^{2}{x}_{0}^{2}}$；
（3）電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω與彈簧伸長(zhǎng)量x之間的函數(shù)關(guān)系$ω=\frac{6mgR（x-{x}_{0}^{\;}）}{{B}_{1}^{\;}{B}_{2}^{\;}{l}_{\;}^{3}{x}_{0}^{\;}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與電學(xué)、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)動(dòng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式$E=\frac{1}{2}B{R}_{\;}^{2}ω$，注意理清電路結(jié)構(gòu)，切割磁感線的導(dǎo)體棒相當(dāng)于電源．