Question

17．如圖所示為我國(guó)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”從發(fā)射到進(jìn)入月球工作軌道的過(guò)程示意圖．在發(fā)射過(guò)程中，經(jīng)過(guò)一系列的加速和變軌，衛(wèi)星沿繞地球“48小時(shí)軌道”在抵達(dá)近地點(diǎn)P時(shí)，主發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”的速度在很短時(shí)間內(nèi)由v₁提高到v₂，進(jìn)入“地月轉(zhuǎn)移軌道”，開始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在“地月轉(zhuǎn)移軌道”上經(jīng)過(guò)114小時(shí)飛行到達(dá)近月點(diǎn)Q時(shí)，需要及時(shí)制動(dòng)，使其成為月球衛(wèi)星．之后，又在繞月球軌道上的近月點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)兩次制動(dòng)，最終進(jìn)入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”質(zhì)量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運(yùn)動(dòng)的高度為h，月球的半徑r_月，月球的質(zhì)量為m_月，萬(wàn)有引力恒量為G．　　 

（1）求“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在繞月球圓形工作軌道?運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期；
（2）理論證明，質(zhì)量為m的物體由距月球無(wú)限遠(yuǎn)處無(wú)初速釋放，它在月球引力的作用下運(yùn)動(dòng)至距月球中心為r處的過(guò)程中，月球引力對(duì)物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)Q進(jìn)行第一次制動(dòng)后能成為月球的衛(wèi)星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，其第一次制動(dòng)后的速度大小應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有，化簡(jiǎn)即可算出T．
（2）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后，在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，則${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$，代入上面h的值，化簡(jiǎn)可達(dá)到v₁．
設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在通過(guò)近月點(diǎn)脫離月球引力束縛飛離月球的速度為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$，可解得v₂．所以，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后的速度v應(yīng)滿足的條件是：v₁＜v＜v₂．

解答 解：（1）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有：
$G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{（{r}_{月}+h）^{2}}={m}_{0}（{r}_{月}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（{r}_{月}+h）}{G{m}_{月}}}$
（2）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后，在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)的速度為v₁，則有：
${v}_{1}=\frac{2π（{r}_{月}+h）}{T}$
解得：${v}_{1}=\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在通過(guò)近月點(diǎn)脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}{m}_{0}{{v}_{2}}^{2}-G\frac{{m}_{月}{m}_{0}}{{r}_{月}+h}=0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
所以，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后的速度u應(yīng)滿足的條件是：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$
答：（1）“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在繞月球圓形工作軌道?運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度$h=\root{3}{\frac{G{{m}_{月}T}^{2}}{4{π}^{2}}}-{r}_{月}$．
（2）理論上使“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)Q進(jìn)行第一次制動(dòng)后能成為月球的衛(wèi)星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進(jìn)入圓形工作軌道，其第一次制動(dòng)后的速度大小應(yīng)滿足：
$\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}＜v＜\sqrt{2}\root{3}{\frac{2πG{m}_{月}}{T}}$．

點(diǎn)評(píng) 抓住解題的關(guān)鍵：萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．外力對(duì)衛(wèi)星做的功等于衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中的動(dòng)能的變化．