Question

3．通常地面附近的重力加速度為g₀，方向豎直向下，若某處地下儲有石油，則附近的重力加速度g的大小和方向會較g₀出現(xiàn)微小差異，我們把此處的重力加速度在豎直方向上的分?jǐn)?shù)與g₀的偏差，稱為重力加速度反�！鱣，重力探礦的原理就是利用這個現(xiàn)象．
（1）如果認(rèn)為地球是一個密度為ρ的均勻球體，半徑為R，萬有引力常數(shù)為G，求地面附近的重力加速度的值g₀．
（2）如圖水平地面的P點(diǎn)正下方有一體積為V的球形空腔內(nèi)儲有石油，空腔的球心O距地面深度為d（d＜＜R），P點(diǎn)附近有一點(diǎn)Q，Q到P的距離為x，求Q點(diǎn)處的重力加速度的反�！鱣．（石油的密度遠(yuǎn)小于地殼的密度，為了計(jì)算簡單，認(rèn)為儲油空腔為真空）

Answer 1

分析 （1）地面附近的物體重力等于萬有引力，可求出地面附近的重力加速度
（2如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值．根據(jù)萬有引力等于重力列出等式，結(jié)合幾何關(guān)系求出空腔引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常．

解答 解：（1）根據(jù)物體在地面附近重力等于萬有引力
$m{g}_{0}^{\;}=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得：${g}_{0}^{\;}=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
由于$M=ρV=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：${g}_{0}^{\;}=\frac{4}{3}πRρG$
（2）如果將近地表的球形空腔填滿密度是ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值，因此，重力加速度反�？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力來計(jì)算
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m△g′$
式中的m是Q點(diǎn)的質(zhì)量，M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量
M=ρV②
而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離$r=\sqrt{nwz43nr_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}}$③
△g'在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小，Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反�！鱣是這一改變在豎直方向上的投④
$△g=\frac9hpn9pl{r}△g′$④
聯(lián)立以上各式得：$△g=\frac{GρVd}{（on4ztxm_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$
答：（1）如果認(rèn)為地球是一個密度為ρ的均勻球體，半徑為R，萬有引力常數(shù)為G，求地面附近的重力加速度的值${g}_{0}^{\;}$為$\frac{4}{3}πRρG$．
（2）如圖水平地面的P點(diǎn)正下方有一體積為V的球形空腔內(nèi)儲有石油，空腔的球心O距地面深度為d（d＜＜R），P點(diǎn)附近有一點(diǎn)Q，Q到P的距離為x，求Q點(diǎn)處的重力加速度的反�！鱣為$\frac{GρVd}{（pdb45bl_{\;}^{2}+{x}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$．（石油的密度遠(yuǎn)小于地殼的密度，為了計(jì)算簡單，認(rèn)為儲油空腔為真空）

點(diǎn)評 本題考查萬有引力部分的知識，逆向思維，填滿巖石就回到正常值，則反常就是這部分巖石的引力引起的．本題第二問直接求解是有一定難度的．