Question

過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型,它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個圓形軌道組成,B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點,B、C間距與C、D間距相等,半徑R₁=2.0 m、R₂=1.4 m。一個質量為m=1.0 kg的小球(視為質點),從軌道的左側A點以v₀=12.0 m/s的初速度沿軌道向右運動,A、B間距L₁=6.0 m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2,圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長,圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10 m/s²,計算結果保留小數(shù)點后一位數(shù)字。試求

(1)小球在經(jīng)過第一個圓形軌道的最高點時,軌道對小球作用力的大小;

(2)如果小球恰能通過第二個圓形軌道,B、C間距L應是多少;

(3)在滿足(2)的條件下,如果要使小球不脫離軌道,在第三個圓形軌道的設計中,半徑R₃應滿足的條件;小球最終停留點與起點A的距離。

分析:主要考查動能定理和圓周運動。

Answer 1

解析:設小球經(jīng)過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁,根據(jù)動能定理

①

小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F,根據(jù)牛頓第二定律

②

由①②得F=10.0 N③

(2)設小球在第二個圓軌道最高點的速度為v₂,由題意

④

⑤

由④⑤得L=12.5 m⑥

(3)要保證小球不脫離軌道,可分兩種臨界情況進行討論:

Ⅰ.軌道半徑較小時,小球恰能通過第三個圓軌道,設在最高點的速度為v₃,應滿足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得R₃=0.4 m

Ⅱ.軌道半徑較大時,小球上升的最大高度為R₃,根據(jù)動能定理

解得R₃=1.0 m

為了保證圓軌道不重疊,R₃最大值應滿足

(R₂+R₃)²=L²+(R₃-R₂)²

解得R₃=27.9 m

綜合Ⅰ、Ⅱ,要使小球不脫離軌道,則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

0＜R₃≤0.4 m

或1.0 m≤R₃≤27.9 m

(若寫成“1.0 m≤R₃＜27.9 m”,也可)

當0＜R₃≤0.4 m時,小球最終停留點與起點A的距離為L′,則

-μmgL′=0-mv₀²

L′=36.0 m

當1.0 m≤R₃≤27.9 m時,小球最終停留點與起點A的距離為L″,則

L″=L′-2(L′-L₁-2L)=26.0 m