Question

12．如圖所示，一對(duì)平行的粗糙金屬導(dǎo)軌固定于同一水平面上，導(dǎo)軌間距L=0.2m，左端接有阻值R=0.3Ω的電阻，右側(cè)平滑連接一對(duì)彎曲的光滑軌道．水平導(dǎo)軌的整個(gè)區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1.0T，一根質(zhì)量m=0.2kg，電阻r=0.1Ω的金屬棒ab垂直放置于導(dǎo)軌上，在水平向右的恒力F作用下從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)金屬棒通過位移x=9m時(shí)離開磁場(chǎng)，在離開磁場(chǎng)前已達(dá)到最大速度．當(dāng)金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)撤去外力F，接著金屬棒沿彎曲軌道上升到最大高度h=0.8m處．已知金屬棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，棒在運(yùn)動(dòng)過程中始終與軌道垂直且與軌道保持良好接觸，取g=10m/s²，求：
（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速率v；
（2）金屬棒在磁場(chǎng)中速度為$\frac{v}{2}$時(shí)的加速度大小；
（3）金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）離開磁場(chǎng)后在彎曲的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有重力做功，金屬棒做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求得金屬棒的初速度即為運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（2）速度最大時(shí)，金屬棒處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡求得拉力F的大小，再求得$\frac{1}{2}v$時(shí)對(duì)應(yīng)速度產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再由歐姆定律求得電路電流，根據(jù)F=BIL求得安培力的大小，最后根據(jù)牛頓第二定律求得金屬棒的加速度大小即可；
（3）根據(jù)功能關(guān)系拉力做的功等于金屬棒增加的動(dòng)能和回路產(chǎn)生的焦耳熱，再根據(jù)歐姆定律求得電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）金屬棒從出磁場(chǎng)到達(dá)彎曲軌道最高點(diǎn)過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得：
$-mgh=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得金屬棒離開磁場(chǎng)時(shí)的最大速率為：
v=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4m/s$
（2）金屬棒在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)回路中的電流為I，根據(jù)平衡條件得：
F=BIL+μmg
解得：$I=\frac{BLv}{R+r}$
解得：F=BIL+μmg=$B\frac{BLb}{R+r}L+μmg$=$\frac{1．{0}^{2}×（0.2）^{2}×4}{0.3+0.1}+0.1×0.2×10N$=0.6N
金屬棒速度為$\frac{v}{2}$時(shí)，設(shè)回路中的電流為I′，根據(jù)牛頓第二定律得：
F-BI′L-μmg=ma
解得：$I′=\frac{BL\frac{v}{2}}{R+r}$=$\frac{1.0×0.2×\frac{4}{2}}{0.3+0.1}A=1A$
所以可得此時(shí)金屬棒的加速度為：
a=$\frac{F-BI′L-μmg}{m}$=$\frac{0.6-1.0×1×0.2-0.1×0.2×10}{0.2}m/{s}^{2}$=1m/s²            
（3）設(shè)金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，根據(jù)功能關(guān)系：
$Fx=μmgx+\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$
根據(jù)閉合電路歐姆定律可得電阻R上的焦耳熱為：
${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$
所以可得：${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}•（Fx-μmgx-\frac{1}{2}m{v}^{2}）$=$\frac{0.3}{0.3+0.1}•（0.6×9-0.1×0.2×10×9-\frac{1}{2}×0.2×{4}^{2}）$J=1.5J
答：（1）金屬棒運(yùn)動(dòng)的最大速率v為4m/s；
（2）金屬棒在磁場(chǎng)中速度為$\frac{v}{2}$時(shí)的加速度大小為1m/s²；
（3）金屬棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為1.5J．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)與電磁感應(yīng)、電學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，分析清楚棒的運(yùn)動(dòng)過程，知道棒開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用力學(xué)和電磁感應(yīng)兩部分知識(shí)結(jié)合進(jìn)行求解．