Question

6．如圖甲所示，相距L=1m、電阻不計(jì)的兩根長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌，各有一部分在同一水平面上，另一部分沿同一豎直面．質(zhì)量均為m=50g、電阻均為R=1.0Ω的金屬細(xì)桿ab、cd與導(dǎo)軌垂直接觸形成閉合回路，桿與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．當(dāng)ab桿在水平拉力F作用下沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，從t=0時(shí)刻開(kāi)始釋放cd桿，cd桿的υ_cd-t圖象如圖乙所示，取g=10m/s²（在0～1s和2～3s內(nèi)，圖線為直線）．

（1）求在0～1s內(nèi)通過(guò)cd桿中的電流；
（2）若已知ab桿在1～2s內(nèi)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求這段時(shí)間內(nèi)拉力F隨時(shí)間變化的函數(shù)方程．

Answer 1

分析 （1）由圖看出，在0～1.0s時(shí)間內(nèi)，cd桿做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，所受的安培力是恒力，根據(jù)速度圖象的斜率求出加速度，由牛頓第二定律和安培力公式求解回路中感應(yīng)電流的大��；
（2）由牛頓第二定律可求得cd桿的受力情況，根據(jù)（2）中方法求得ab桿的速度；則由牛頓第二定律可明確ab的加速度，再結(jié)合導(dǎo)體切割磁感線規(guī)律可求得速度表達(dá)式，從而即可求解．

解答 解：（1）在0～1s內(nèi)，cd桿的υ_cd---t圖線為傾斜直線，
因此cd桿做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：${a_1}=\frac{{{υ_t}-{υ_0}}}{t}=4.0m/{s^2}$ 
因此cd桿受向上的摩擦力作用，其受力圖如圖所示．

根據(jù)牛頓第二定律，有：mg-F_f=ma
其中F_f=μF_N=μF_A=μBIL
因此回路中的電流為：$I=\frac{m（g-a）}{μBL}=0.6A$
（2）在0～1s內(nèi)，設(shè)ab桿產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E，則：E=BLυ₁
由閉合電路歐姆定律知：$I=\frac{E}{2R}$
則ab桿的速度為：${υ_1}=\frac{2IR}{BL}$=1.2m/s
在2～3s內(nèi)，由圖象可求出cd桿的加速度為：a₂=-4m/s²
同理可求出ab桿的速度：υ₂=$\frac{{2m（g-{a_2}）R}}{{μ{B^2}{L^2}}}$=2.8m/s
在1～2s內(nèi)，ab桿做勻加速運(yùn)動(dòng)，則加速度為：$a=\frac{{{υ_2}-{υ_1}}}{t}=1.6m/{s^2}$
對(duì)ab桿，根據(jù)牛頓第二定律有：F-μmg-BI'L=ma
ab桿在t時(shí)刻的速度：υ=υ₁+a（t-1）
回路中的電流：$I'=\frac{BLυ}{2R}$
聯(lián)立可得：F=0.8t+0.13
答：（1）在0～1s內(nèi)通過(guò)cd桿中的電流0.6A；
（2）這段時(shí)間內(nèi)拉力F隨時(shí)間變化的函數(shù)方程F=0.8t+0.13．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及電磁感應(yīng)過(guò)程中的復(fù)雜受力分析，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，然后根據(jù)牛頓第二定律求解拉力的大小，進(jìn)一步根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)列方程求解．