Question

4．如圖甲所示是一個(gè)擺線長(zhǎng)度可調(diào)的單擺振動(dòng)的情景圖，O是它的平衡位置，P、Q是小球所能到達(dá)的最高位置．小球的質(zhì)量m=0.4kg，圖乙是擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)時(shí)小球的振動(dòng)圖象，g取10m/s²．
（i）為測(cè)量單擺的擺動(dòng)周期，測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過0（選填“O”、“P”或“Q”）時(shí)開始計(jì)時(shí)；測(cè)出懸點(diǎn)到小球球心的距離（擺長(zhǎng)）L及單擺完成n次全振動(dòng)所用的時(shí)間t，則重力加速度g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$．（用L、n、t表示）
（ii）由圖乙寫出單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，并判斷小球在什么位置時(shí)加速度最大以及最大加速度為多少．

Answer 1

分析 （i）測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)．根據(jù)單擺的周期公式求解重力加速度g．
（2）由圖讀出周期和振幅，求出ω，再寫出振動(dòng)方程．加速度與位移成正比，位移最大時(shí)加速度最大．根據(jù)a=-$\frac{kx}{m}$求最大加速度．

解答 解：（1）為測(cè)量單擺的擺動(dòng)周期，測(cè)量時(shí)間應(yīng)從擺球經(jīng)過O時(shí)開始計(jì)時(shí)．
單擺的周期為 T=$\frac{t}{n}$
由單擺的周期為 T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$得
  g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$
（2）由圖知A=5cm，T=2s，則ω=$\frac{2π}{T}$=π s
單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為 x=Asinωt=5sinπt cm
小球在Q和P位置時(shí)位移最大，加速度最大．設(shè)最大加速度為a_m．
根據(jù) T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$得 L=1m
根據(jù)牛頓第二定律得：a_m=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ≈g•$\frac{A}{L}$=10×$\frac{0.05}{1}$=0.5m/s²．
故答案為：
（1）O，$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}L}{{t}^{2}}$．
（2）單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式為 x=Asinωt=5sinπt cm．小球在Q和P位置時(shí)加速度最大，最大加速度為0.5m/s²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是要知道單擺測(cè)定重力加速度的原理：?jiǎn)螖[的周期公式，要掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征：a=-$\frac{kx}{m}$，知道在最大位移處加速度最大．