Question

4．某人設(shè)計(jì)了一種潛艇，利用電磁推進(jìn)代替了螺旋槳．潛艇推進(jìn)器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖所示，水從推進(jìn)管道中流過(guò)．不考慮管道中水流與管壁以及水之間的粘滯阻力作用，管道中有一個(gè)長(zhǎng)方體狀的區(qū)域，該區(qū)域橫截面積和入水口是一樣的，尺寸為a×b×c，其中由超導(dǎo)磁鐵產(chǎn)生了穩(wěn)定勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，磁場(chǎng)方向沿著b方向垂直紙面向外．在上下兩個(gè)面各有一塊a×b大小的電極，接入直流電源，假設(shè)電流只在這個(gè)長(zhǎng)方體區(qū)域內(nèi)存在，并且是均勻的，穩(wěn)定狀態(tài)電流大小為I，海水密度為ρ_m，海水電阻率為ρ，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)任意一管道橫截面海水的體積相等．假設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)后潛水艇進(jìn)水口壓強(qiáng)為p₀，出水口壓強(qiáng)為r₂（未知），進(jìn)水口面積為S=b×c，出水口面積為S₂=kS，進(jìn)水口的流速v₀，在潛艇參照系中，試求：
（1）磁場(chǎng)對(duì)海水磁場(chǎng)力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)．
（2）計(jì)算穩(wěn)定流動(dòng)后直流電源的輸出功率．（用v₀、ρ、B、I、b、a、c表示）．
（3）穩(wěn)定流動(dòng)后出水口水的流速v₂和壓強(qiáng)p₂．（用p₀、ρ_m、B、I、v₀、k、b等表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)安培力的公式：F=BIL計(jì)算出安培力的大小，該安培力的大小即磁場(chǎng)對(duì)海水磁場(chǎng)力產(chǎn)生的附加壓力，由P=$\frac{F}{S}$計(jì)算壓強(qiáng)；
（2）根據(jù)R=$ρ\frac{L}{S}$計(jì)算電阻值，根據(jù)U=IR計(jì)算極板兩端的電壓，最后由P=UI即可計(jì)算電源的功率；
（3）當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)力和磁場(chǎng)力的作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，海水的流速達(dá)到最大，由此求出速度，由V=Svt即可求出流量；根據(jù)流水的壓強(qiáng)公式求出壓強(qiáng)．

解答 解：（1）由圖可知，磁場(chǎng)的寬度為c，磁場(chǎng)對(duì)管道內(nèi)海水有力的作用為F=BIc，
安培力產(chǎn)生的壓強(qiáng)：$△P=\frac{F}{{S}_{1}}=\frac{BIc}{bc}=\frac{BI}$
（2）該體積內(nèi)海水的電阻值：R=$\frac{ρc}{ab}$
所以其兩端的電壓：U=IR=$\frac{ρIc}{ab}$
穩(wěn)定流動(dòng)后直流電源的輸出功率：P=UI=$\frac{ρ{I}^{2}c}{ab}$
（3）當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，海水的流速達(dá)到最大，此時(shí)：
$Bqv=\frac{qU}{c}$
所以：v=$\frac{U}{Bc}=\frac{ρIc}{abBc}=\frac{ρI}{abB}$
磁場(chǎng)區(qū)域處的橫截面積與進(jìn)水口處的橫截面積相等，所以：v=v₀
進(jìn)水口的流量與出水口處的流量是相等的，即：S•v₀=S₂•v₂
又：S₂=kS
聯(lián)立得v₂=$\frac{ρI}{k•ab•B}$
根據(jù)伯努利方程：$P+\frac{1}{2}ρm{v}^{2}+ρgh=C$
由于在相同的水平方向，所以得：
${P}_{0}+\frac{1}{2}ρ{mv}_{0}^{2}={P}_{2}+\frac{1}{2}ρ{mv}_{2}^{2}$
整理得：P₂═${P}_{0}+\frac{1}{2}ρm{（v}_{0}^{2}+\frac{{ρ}^{2}{I}^{2}}{{a}^{2}^{2}{B}^{2}}）$
答：（1）磁場(chǎng)對(duì)海水磁場(chǎng)力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)是$\frac{BI}$．
（2）計(jì)算穩(wěn)定流動(dòng)后直流電源的輸出功率是$\frac{ρ{I}^{2}c}{ab}$．
（3）穩(wěn)定流動(dòng)后出水口水的流速是$\frac{ρI}{k•ab•B}$和壓強(qiáng)${P}_{0}+\frac{1}{2}ρm{（v}_{0}^{2}+\frac{{ρ}^{2}{I}^{2}}{{a}^{2}^{2}{B}^{2}}）$

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是掌握左手定則和牛頓第三定律，并能正確運(yùn)用，注意與右手定則的區(qū)別關(guān)鍵是抓住海水中壓強(qiáng)與磁場(chǎng)產(chǎn)生的壓強(qiáng)，利用好伯努利方程即可