Question

9．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．該定律對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立．如圖，嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道I上繞月球運(yùn)行，周期為T．月球的半徑為R，引力常量為G．某時(shí)刻嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在4點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道II，在月球表面的B點(diǎn)著陸．A、O、B三點(diǎn)在一條直線上．
求：（1）月球的密度；
（2）在II軌道上運(yùn)行的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，結(jié)合衛(wèi)星的軌道半徑和周期求出月球的質(zhì)量，根據(jù)月球的體積求出月球的密度．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，結(jié)合開普勒第三定律求出在II軌道上運(yùn)行的時(shí)間．

解答 解：（1）由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力：$\frac{GMm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$，
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
月球的密度：$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$，解得$ρ=\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$．
（2）橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：$a=\frac{R+r}{2}$，
設(shè)橢圓軌道上運(yùn)行周期為T₁，由開普勒第三定律有：$\frac{a^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}$，
在Ⅱ軌道上運(yùn)行的時(shí)間為t：$t=\frac{T_1}{2}$，
解得$t=\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．
答：（1）月球的密度為$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（2）在II軌道上運(yùn)行的時(shí)間為$\frac{（R+r）T}{4r}\sqrt{\frac{（R+r）}{2r}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律和開普勒第三定律的綜合運(yùn)用，知道在Ⅱ軌道上運(yùn)行的時(shí)間等于橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期的一半，結(jié)合開普勒第三定律進(jìn)行求解．