Question

5．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到距地面高度為h的近地圓軌道上，在衛(wèi)星經(jīng)過A點時點火實施變軌進(jìn)入橢圓軌道，最后在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點B點再次點火將衛(wèi)星送入同步軌道，如圖所示．已知同步衛(wèi)星的運動周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）衛(wèi)星在近地點A的加速度大小
（2）遠(yuǎn)地點B距地面的高度．

Answer 1

分析 衛(wèi)星近地點A的加速度由萬有引力提供，求出萬有引力加速度就可以，在地球表面，重力和萬有引力相等，由此可以求出衛(wèi)星在近地點的加速度；
在地球同步衛(wèi)星軌道，已知衛(wèi)星的周期求出衛(wèi)星的軌道高度．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，萬有引力常數(shù)為G，衛(wèi)星在A點的加速度為a，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{1}）^{2}}=ma$
物體在地球赤道表面上受到的萬有引力等于重力，則：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
解以上兩式得：a=$\frac{g{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）設(shè)遠(yuǎn)地點B距地面高度為h₂，衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+{h}_{2}）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h₂）
解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．
答：（1）衛(wèi)星在近地點A的加速度大小為$\frac{g{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$；
（2）遠(yuǎn)地點B距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．．

點評 此題是萬有引力定律的應(yīng)用的典型問題；解題時關(guān)鍵是知道衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于萬有引力；根據(jù)牛頓定律列出方程即可；注意黃金代換式子GM=gR²的應(yīng)用．