Question

9．黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成．A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示．由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它星體的影響，引力常量為G．
（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（可視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見(jiàn)星A的速率v=2.7×10⁵m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×10⁴s，質(zhì)量m₁=6m_s，試通過(guò)估算，判斷暗星B是否有可能是黑洞．（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律公式求出質(zhì)量m′．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的表達(dá)式求出暗星B的質(zhì)量，與太陽(yáng)的質(zhì)量進(jìn)行比較，判斷是否是黑洞．

解答 解：（1）設(shè)A、B圓軌道的半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B的角速度相等，為ω₀，
有：${F}_{A}={m}_{1}{r}_{1}{{ω}_{0}}^{2}$，${F}_{B}={m}_{2}{r}_{2}{{ω}_{0}}^{2}$，又F_A=F_B．
設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂．
由以上各式得，$r=\frac{{m}_{1}+{m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$   ①
由萬(wàn)有引力定律得，${F}_{A}=\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$．
將①代入得，${F}_{A}=G\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{{r}_{1}}^{2}}$
令${F}_{A}=G\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$，比較可得$m′=\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．②
（2）由牛頓第二定律有：$G\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，③
又可見(jiàn)星的軌道半徑${r}_{1}=\frac{vT}{2π}$④
由②③④得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）將m₁=6m_s代入$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$  ⑤
代入數(shù)據(jù)得，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=3.5{m}_{s}$．⑥
設(shè)m₂=nm_s，（n＞0）將其代入⑥式得，
$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=3.5{m}_{s}$．⑦
可見(jiàn)，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{6m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$的值隨n的增大而增大，令n=2時(shí)，得
$\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}=0.125{m}_{s}＜3.5{m}_{s}$⑧
要使⑦式成立，則n必須大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必須大于2m₁，由此得出結(jié)論，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′的質(zhì)量是$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}$．
（2）暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$．
（3）暗星B有可能是黑洞．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙子星問(wèn)題，關(guān)鍵抓住雙子星所受的萬(wàn)有引力相等，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律綜合求解．