Question

4．天文學家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運動特征可以推算出它們的總質(zhì)量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r
（1）試推算這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量（引力常量為G）
（2）研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星經(jīng)過一段時間的演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星間距變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時雙星做圓周運動的周期變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?

Answer 1

分析 （1）這是一個雙星的問題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律解決問題．
（2）雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)牛頓第二定律分別對兩星進行列式，來求解．

解答 解：（1）設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m₁、m₂，做圓周運動的半徑分別為r₁、r₂，角速度分別為ω₁，ω₂．根據(jù)題意有 
ω₁=ω₂ …①
r₁+r₂=r…②
根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₁ω₁²r₁…③
 G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$=m₂ω₂²r₂…④
聯(lián)立以上各式解得：r₁=$\frac{{m}_{2}r}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…⑤
根據(jù)角速度與周期的關(guān)系知：ω₁=ω₂=$\frac{2π}{T}$…⑥
聯(lián)立③⑤⑥式解得：m₁+m₂=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r³，
（2）設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為l．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對m₁：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{1}$----⑦
對m₂：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{l}^{2}}$=${m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$----⑧
 又因為R₁十R₂=l，m₁+m₂=M     ⑨
由⑦⑧⑨式可得 ${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}{l}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
所以當兩星總質(zhì)量變?yōu)镵M，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，
圓周運動的周期${T′}^{2}=\frac{4{π}^{2}{（nl）}^{3}}{G（{m}_{1}′+{m}_{2}′）}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{3}{l}^{3}}{GkM}$=$\frac{{n}^{3}}{k}$T²
即T′=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}T$
此時雙星做圓周運動的周期變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍
答：（1）這個雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量是=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}G}$r³；
（2）此時雙星做圓周運動的周期變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{\frac{{n}^{3}}{k}}$倍．

點評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．