Question

4．如圖，A、C、D分別為光滑絕緣水平面內(nèi)一直角三角形的三個頂點(diǎn)，兩直角邊長分別為a和b． 現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球，以初速度v₀從頂點(diǎn)A沿直角邊射出，整個運(yùn)動過程中因?yàn)榇艌龌螂妶龅淖饔们『媚芙?jīng)過頂點(diǎn)D．
（1）若只存在豎直方向的勻強(qiáng)磁場，試求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）若只存在水平方向的勻強(qiáng)電場，試求電場強(qiáng)度的大小與方向間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）僅在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動，畫出帶電小球做圓周的運(yùn)動軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解B即可；
（2）僅在電場力的作用下，畫出帶電小球的運(yùn)動軌跡，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)場強(qiáng)E的方向與x軸正方向成α角，根據(jù)運(yùn)動學(xué)基本公式結(jié)合幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）僅在洛倫茲力的作用下，帶電小球做圓周的運(yùn)動軌跡如圖所示，

設(shè)軌道半徑為r，根據(jù)幾何關(guān)系有
（a-r）²+b²=r²
根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律得：
$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得
$B=\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+^{2}）}$，依左手定則可知磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向上．
（2）僅在電場力的作用下，帶電小球的運(yùn)動軌跡如圖所示，

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)場強(qiáng)E的方向與x軸正方向成α角．
在x軸方向有
qE_x=ma_x，
$a=\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}$，
在y軸方向有
qE_y=ma_y，
$b=-{v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{y}{t}^{2}$，
而$tanα=\frac{{E}_{y}}{{E}_{x}}$，
由以上各式解得
$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，該關(guān)系式需要滿足的條件是$tanα＞\frac{a}$．
答：（1）若只存在豎直方向的勻強(qiáng)磁場，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{2am{v}_{0}}{q（{a}^{2}+^{2}）}$，方向豎直向上；
（2）若只存在水平方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度的大小與方向間的關(guān)系為$E=\frac{2am{{v}_{0}}^{2}}{qcosα（atanα-b）^{2}}$，該關(guān)系式需要滿足的條件是$tanα＞\frac{a}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，知道僅在洛倫茲力的作用下，帶電小球做圓周運(yùn)動，要求同學(xué)們能畫出粒子的運(yùn)動軌跡，能根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，難度適中．