Question

8．如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，第一四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸間右連續(xù)發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子在0～3t₀時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U₀的大小．
（2）求$\frac{1}{2}$t₀時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）何時(shí)射入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．由題知道x方向位移為l，y方向位移為$\frac{l}{2}$，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解U．
（2）$\frac{1}{2}$t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前$\frac{1}{2}$t₀時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后$\frac{1}{2}$t₀時(shí)間兩極板沒有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期一定，當(dāng)軌跡的圓心角最小時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，
則有 y=$\frac{1}{2}$l，x=l，
電場(chǎng)強(qiáng)度：E=$\frac{{U}_{0}}{L}$…①，
由牛頓第二定律得：Eq=ma…②，
偏移量：y=$\frac{1}{2}$at₀²…③
由①②③解得：U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$…④．
（2）$\frac{1}{2}$t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前$\frac{1}{2}$t₀時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后$\frac{1}{2}$t₀時(shí)間兩極板沒有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為：v_x=v₀=$\frac{l}{{t}_{0}}$…⑤
帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為：v_y=a•$\frac{1}{2}$t₀ …⑥
帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…⑦
設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧，
由③⑤⑥⑦⑧解得：R=$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$…⑨；
（3）在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，飛出極板時(shí)速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角最小，
而根據(jù)軌跡幾何知識(shí)可知，軌跡的圓心角等于粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界夾角的2倍，
所以在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
帶電粒子離開磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為：v_y′=at₀ …⑩，
設(shè)帶電粒子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則：tanα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$，
由③⑤⑩解得：α=$\frac{π}{4}$，帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示，
圓弧所對(duì)的圓心角為：2α=$\frac{π}{2}$，
所求最短時(shí)間為：t_min=$\frac{1}{4}$T，
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
聯(lián)立以上兩式解得：t_min=$\frac{πm}{2qB}$；
答：（1）電壓U₀的大小為$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）$\frac{1}{2}$t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$；
（3）在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，最短時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查到的知識(shí)點(diǎn)較多，首先是考察到了離子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，并且電場(chǎng)還是變化的，這就要求我們要有較強(qiáng)的過(guò)程分析能力，對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段處理；還考察到了離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，要熟練的會(huì)用半徑公式和周期公式解決問題；在解決粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題時(shí)，要注意偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系，熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決問題．是一道難度較大的題．