Question

19．如圖所示，六根完全一樣的電阻絲，電阻值均為R，依次連接構成一個正六邊形，連接處接觸良好并形成六個接線柱．任意兩個接線柱之間都可以構成一個電阻．現在給你一個電阻值忽略不計的導線，要求你每次將其中的任意兩個接線柱短接，在各種情況下，利用上述方法能得到的所有電阻中，最大值和最小值分別是（不包括零電阻）（　�。�

• A． $\frac{5}{3}$R，$\frac{1}{3}$R
• B． $\frac{3}{2}$R，$\frac{5}{6}$R
• C． $\frac{3}{2}$R，$\frac{1}{2}$R
• D． $\frac{6}{5}$R，$\frac{1}{2}$R

Answer 1

分析 注意任意兩個接線柱之間構成一個電阻，都是把整個電阻裝置分為左右兩邊．如果A接線柱為準，連接的方法中AB與AF的構成電阻值相同；同理：AC與AE的構成電阻值相同；AD為兩條支路都相同的并聯電路，用并聯電路的電阻特點分別求出阻值即可．

解答 解：①每一個電阻絲為R，如果A接線柱為準，連接的方法中AF與AB的構成電阻值相同；等效電路如圖1所示

其總電阻為：$\frac{5R×R}{5R+R}$=$\frac{5}{6}$R．
這時，若再將一個電阻值忽略不計的導線將其中的任意兩個接線柱短接的情況中，電阻個數最多的支路上，短路后電阻最小的是只有一個R連接在電路中（不包括零電阻），其總電阻最小，如圖2：

其總電阻為：$\frac{1}{2}$R．
電阻個數最多的支路上，短路后電阻最大時是有4個R連接在電路中，其總電阻最大，如圖3：

其總電阻為：$\frac{4R×R}{4R+R}$=$\frac{4}{5}$R．
②連接的方法中AC與AE的構成電阻值相同；等效電路如圖4所示：

其總電阻為：$\frac{4R×2R}{4R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
這時，若再將一個電阻值忽略不計的導線將其中的任意兩個接線柱短接的情況中，電阻個數最多的支路上，短路后電阻最小的是只有一個R連接在電路中（不包括零電阻），如圖5：

其總電阻為：$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{2}{3}$R．
電阻個數最多的支路上，短路后電阻最大時是有3個R連接在電路中，如圖6：

其總電阻為：$\frac{3R×2R}{3R+2R}$=$\frac{6}{5}$R．
若將一個電阻值忽略不計的導線在兩條支路之間的任意兩個接線柱短接的情況中，則情況如圖7：

其總電阻分別為：$\frac{1}{2}$R+$\frac{R×3R}{R+3R}$=$\frac{5}{4}$R、$\frac{R×2R}{R+2R}$+$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
③連接的方法中AD時；等效電路如圖8所示

其總電阻為：$\frac{3R×3R}{3R+3R}$=$\frac{3}{2}$R．
這時，若再將一個電阻值忽略不計的導線將其中的任意兩個接線柱短接的情況中，一條支路上被導線短路后電阻最小的是只有一個R連接在電路中（不包括零電阻），如圖9：

其總電阻為：$\frac{R×3R}{R+3R}$=$\frac{3}{4}$R；
一條支路上被導線短路后短路后電阻最大時是有2個R連接在電路中，其總電阻最大，如圖10：

其總電阻為：$\frac{2R×3R}{2R+3R}$=$\frac{6}{5}$R．
若將一個電阻值忽略不計的導線在兩條支路之間的任意兩個接線柱短接的情況中，則情況如圖11：

其總電阻分別為：$\frac{1}{2}$R+$\frac{1}{2}$×2R=$\frac{3}{2}$R、$\frac{R×2R}{R+2R}$+$\frac{R×2R}{R+2R}$=$\frac{4}{3}$R．
由上分析可知：最大值為$\frac{3}{2}$R和最小值為$\frac{1}{2}$R．
故選：C．

點評 本題的關鍵點是分析電阻的連接方式有幾種，然后畫出等效電路，最后根據串并聯電路電阻的特點進行計算