Question

5．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置．質量為m的小球以某一速度進入管內，通過最高點A時，對管壁的作用力為$\frac{1}{2}$mg．求：小球落地點距軌道最低點B的距離的可能值．

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律分別求出小球在最高點P的速度大小，離開P點做平拋運動，根據平拋運動的時間和速度分別求出水平位移，即可解答．

解答 解：小球從管口飛出做平拋運動，設落地時間為t，
根據2R=$\frac{1}{2}$gt²，
得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，
當小球對管下部有壓力時有：
 mg-$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得：v₁=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小球對管上部有壓力時有：
 mg+$\frac{1}{2}$mg=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{3gR}{2}}$
因此水平位移 x₁=v₁t=$\sqrt{2}$R，或 x₂=v₂t=$\sqrt{6}$R．
答：小球落地點距軌道最低點B的距離的可能值為$\sqrt{2}$R或$\sqrt{6}$R．

點評 解決本題的關鍵理清小球做圓周運動向心力的來源，知道管子與輕桿模型相似，在最高點對球的彈力方向可能向下，也可能向上，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．