Question

15．如圖所示，一質(zhì)量為M的光滑小球靜止在桌面邊緣，桌面離水平地面的高度為h．質(zhì)量為m的等大的小球以水平速度v₀通過一段L=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$的距離后與小球M正碰（μ為小球m與桌面的動摩擦因數(shù)，g為重力加速度）．已知碰撞為完全彈性碰撞．求：
（1）碰撞前m球的速度大��；
（2）碰撞后m和M的速度大小；
（3）小球M落地點離桌面邊緣的水平距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）小球在桌面上運動的過程中受到摩擦力的作用，由動能定理即可求出碰撞前的速度；
（2）碰撞后M做平拋運動，將運動分解成水平方向和豎直方向即可求出A拋出時的速度；M與m碰撞的過程中動量守恒，列出公式即可求出m的速度；
（3）根據(jù)動量守恒定律和兩個物體之間的質(zhì)量關(guān)系，結(jié)合平拋運動的特點分析即可．

解答 解：（1）設(shè)碰撞前m球的速度為v₁，由動能定理
-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
得：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
（2）設(shè)碰撞后m、M的速度分別為v_m和v_M，根據(jù)動量守恒定律，則有：
mv₁=mv₂+Mv₃
根據(jù)機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$，
聯(lián)立得：${v}_{2}=\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$，${v}_{3}=\frac{m{v}_{0}}{m+M}$
（3）對它們的質(zhì)量關(guān)系進(jìn)行討論：①當(dāng)M＞＞m時，v₃≈0
②當(dāng)m＞＞M時，v₃≈v₀
設(shè)物塊下落所需時間為t，水平位移為s，則：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，s=v₃t，
聯(lián)立得：s=${v}_{3}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
若v₃=0，則：s=0
若v₃≈v₀，則：s=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
綜上所述，小球M的水平位移范圍是：0＜s＜${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）碰撞前m球的速度大小是$\frac{1}{2}{v}_{0}$；
（2）碰撞后m和M的速度大小分別是$\frac{m-M}{2（m+M）}{v}_{0}$和$\frac{m{v}_{0}}{m+M}$；
（3）小球M落地點離桌面邊緣的水平距離的范圍．

點評 該題涉及碰撞中的動量守恒、平拋運動和勻減速運動的三個過程，過程多，而情景都比較簡單．屬于中檔題目．