Question

9．我國(guó)探月工程已規(guī)劃至嫦娥四號(hào)，并計(jì)劃在2017年將嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星發(fā)射升空，到時(shí)將實(shí)現(xiàn)在月球上自動(dòng)巡視機(jī)器人勘測(cè)．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球半徑為R₁，月球半徑為R₂，若嫦娥四號(hào)探月衛(wèi)星在地球表面的重力大小為G₁，在月球表面的重力大小為G₂，求：
（1）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比；
（2）嫦娥四號(hào)在近月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力即可分別求出地球和月球的質(zhì)量；
（2）由萬(wàn)有引力提供向心力即可求出周期；
（3）根據(jù)重力提供向心力即可分別求出兩種第一宇宙速度；

解答 解：（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，G表示萬(wàn)有引力常量，在地球表面：$mg=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{1}^{2}}$   ①
所以：M_地=$\frac{g{R}_{1}^{2}}{G}$  ②
在地球表面：mg=G₁    ③
在月球表面：mg_月=G₂  ④
聯(lián)立③④得：${g}_{月}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}•g$   ⑤
設(shè)月球質(zhì)量為${M}_{月}^{\;}$，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力：$m{g}_{月}=\frac{G{M}_{月}m}{{R}_{2}^{2}}$  ⑥
解得：${M}_{月}=\frac{{g}_{月}{R}_{2}^{2}}{G}$=$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}g}{{G}_{1}G}$   ⑦
聯(lián)立得：$\frac{{M}_{月}}{{M}_{地}}$=$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$
（2）根據(jù)月球表面重力提供向心力，有：$m{g}_{月}=\frac{m•4{π}^{2}{R}_{2}}{{T}^{2}}$  ⑧
所以：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}}{{g}_{月}}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{{G}_{2}g}}$
（3）根據(jù)地球表面重力提供向心力，有：$mg=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$⑨
所以：${v}_{1}=\sqrt{g{R}_{1}}$
根據(jù)月球表面重力提供向心力，有：$m{g}_{月}=\frac{m{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
所以：${v}_{2}=\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}•g{R}_{2}}$
所以：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$
答：（1）月球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比是$\frac{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}$；
（2）嫦娥四號(hào)在近月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{{G}_{2}g}}$；
（3）月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比是$\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．