Question

7．如圖所示，有一半徑為r，圓心角為90°的扇形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，一束由質(zhì)量和帶電荷相同、但電性不同的離子組成的粒子流，以相同的速度從距O點(diǎn)$\frac{r}{3}$處的P點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)的邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，離開磁場(chǎng)時(shí)所有粒子的運(yùn)動(dòng)方向都與邊界垂直．
求
（1）當(dāng)離子的速度為v₀時(shí)．從邊界ON、OM垂直射出的粒子的出射點(diǎn)距O點(diǎn)的距離分別是多少？
（2）若要使所有的粒子都能垂直于邊界OM離開磁場(chǎng)，則粒子的入射速度與v₀的關(guān)系如何？（不計(jì)離子的重力）
（3）如果增大正離子的速度，則正離子能否從MN邊界垂直射入？若能，則此時(shí)的速度是v₀的幾倍．

Answer 1

分析 （1）離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，從邊界ON、OM垂直射出的粒子的軌跡分別為四分之一個(gè)圓周、半個(gè)圓周，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解即可；
（2）要使所有的粒子都能垂直于邊界OM離開磁場(chǎng)，臨界情況是PO為直徑，結(jié)合牛頓第二定律列式求解即可；
（3）正離子向上偏轉(zhuǎn)，正離子從MN邊界垂直射入，畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系列式求解軌道半徑，然后根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)離子的速度為v₀時(shí)，軌道半徑是固定的，畫出軌跡，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
R=$\frac{r}{3}$
故從邊界ON、OM垂直射出的粒子的出射點(diǎn)距O點(diǎn)的距離分別是$\frac{r}{3}$、$\frac{2}{3}r$；
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，故：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{mv}{qB}$∝v     
即粒子的速度越大，軌道半徑越大；
若要使所有的粒子都能垂直于邊界OM離開磁場(chǎng)，則最大半徑對(duì)應(yīng)的軌跡如圖：

故軌道半徑為：R=$\frac{r}{6}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（3）增大正離子的速度，軌道半徑增大，要從MN邊界垂直射出，軌跡如圖：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：
（R+$\frac{r}{3}$）²+r²=R²
解得：
R=$\frac{4}{3}r$
結(jié)合公式R=$\frac{mv}{qB}$∝v 可知，速度是v₀的4倍；
答：（1）當(dāng)離子的速度為v₀時(shí)，從邊界ON、OM垂直射出的粒子的出射點(diǎn)距O點(diǎn)的距離分別是$\frac{r}{3}$、$\frac{2}{3}r$；
（2）若要使所有的粒子都能垂直于邊界OM離開磁場(chǎng)，則粒子的入射速度與v₀的關(guān)系為v=$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）如果增大正離子的速度，則正離子能從MN邊界垂直射入，此時(shí)的速度是v₀的4倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是結(jié)合公式R=$\frac{mv}{qB}$∝v分析，畫出臨界軌跡，得到臨界軌跡對(duì)應(yīng)的軌道半徑進(jìn)行分析，不難．