Question

12．如圖，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球A、B固定在彎成直角的絕緣輕桿兩端，AB=OB=l，可繞過(guò)O點(diǎn)且與紙面垂直的水平軸無(wú)摩擦地在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣阻力不計(jì)．A球帶正電，B球帶負(fù)電，電量均為q，整個(gè)系統(tǒng)處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)E=$\frac{mg}{2q}$．開(kāi)始時(shí)，AB水平，以圖中AB位置為重力勢(shì)能和電勢(shì)能的零點(diǎn)，問(wèn)：
（1）為使系統(tǒng)在圖示位置平衡，需在A點(diǎn)施加一力F，則F至少多大？方向如何？
（2）若撤去F，OB轉(zhuǎn)過(guò)45°角時(shí)，A球角速度多大？此時(shí)系統(tǒng)電勢(shì)能總和是多大？
（3）若撤去F，OB轉(zhuǎn)過(guò)多大角度時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)F垂直于OA時(shí)力最小，根據(jù)力矩平衡求出最小拉力的大小和方向．
（2）對(duì)A、B組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)能定理，抓住A、B的角速度相等，得出A、B線(xiàn)速度的關(guān)系，聯(lián)立求出A球的角速度．根據(jù)電場(chǎng)力做功求出系統(tǒng)電勢(shì)能的總和．
（3）當(dāng)電勢(shì)能最小時(shí)，間最大，結(jié)合能量守恒求出機(jī)械能的最大值．

解答 解：（1）當(dāng)F垂直于OA時(shí)力最小．                                    
根據(jù)力矩平衡：mgl+qEl=F_min$\sqrt{2}$l   已知qE=$\frac{1}{2}$mg             
可以求出：F_min=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向與AB成45度角斜向上．                                   
（2）對(duì)系統(tǒng)列動(dòng)能定理，（mg+qE）l+（mg-qE）l（1-cos45°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
其中，${v}_{A}=\sqrt{2}ωl$，v_B=ωl，可得：ω=$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$．
此時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)A球做正功，W_A=qEl，電場(chǎng)力對(duì)B球做負(fù)功，W_B=-qEl（1-cos45°），
則電場(chǎng)力對(duì)系統(tǒng)做功W=qElcos45°，
則系統(tǒng)電勢(shì)能ε=-$\frac{\sqrt{2}}{2}qEl$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）電勢(shì)能最小時(shí)，機(jī)械能最大，由2的結(jié)論，系統(tǒng)電勢(shì)能總和為ε=-qElcosθ
即當(dāng)θ=90°，電勢(shì)能最小ε_min=-q E l      
初始位置時(shí)，電勢(shì)能和機(jī)械能均為零，則此時(shí)，E_機(jī)max=qEl=$\frac{1}{2}$mgl．
答：（1）F至少為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向與AB成45度角斜向上．
（2）A球的角速度為$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$，系統(tǒng)電勢(shì)能的總和為$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）OB轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能最大，最大機(jī)械能為$\frac{1}{2}mgl$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了力矩平衡、系統(tǒng)動(dòng)能定理、能量守恒的總和運(yùn)用，知道電場(chǎng)力做功等于電勢(shì)能的減小量．知道當(dāng)電勢(shì)能最小時(shí)，機(jī)械能最大．