Question

12．如圖，質(zhì)量均為m的兩個小球A、B固定在彎成直角的絕緣輕桿兩端，AB=OB=l，可繞過O點且與紙面垂直的水平軸無摩擦地在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，空氣阻力不計．A球帶正電，B球帶負電，電量均為q，整個系統(tǒng)處在豎直向下的勻強電場中，場強E=$\frac{mg}{2q}$．開始時，AB水平，以圖中AB位置為重力勢能和電勢能的零點，問：
（1）為使系統(tǒng)在圖示位置平衡，需在A點施加一力F，則F至少多大？方向如何？
（2）若撤去F，OB轉(zhuǎn)過45°角時，A球角速度多大？此時系統(tǒng)電勢能總和是多大？
（3）若撤去F，OB轉(zhuǎn)過多大角度時，系統(tǒng)機械能最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）當F垂直于OA時力最小，根據(jù)力矩平衡求出最小拉力的大小和方向．
（2）對A、B組成的系統(tǒng)運用動能定理，抓住A、B的角速度相等，得出A、B線速度的關系，聯(lián)立求出A球的角速度．根據(jù)電場力做功求出系統(tǒng)電勢能的總和．
（3）當電勢能最小時，間最大，結(jié)合能量守恒求出機械能的最大值．

解答 解：（1）當F垂直于OA時力最小．                                    
根據(jù)力矩平衡：mgl+qEl=F_min$\sqrt{2}$l   已知qE=$\frac{1}{2}$mg             
可以求出：F_min=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向與AB成45度角斜向上．                                   
（2）對系統(tǒng)列動能定理，（mg+qE）l+（mg-qE）l（1-cos45°）=$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
其中，${v}_{A}=\sqrt{2}ωl$，v_B=ωl，可得：ω=$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$．
此時，電場力對A球做正功，W_A=qEl，電場力對B球做負功，W_B=-qEl（1-cos45°），
則電場力對系統(tǒng)做功W=qElcos45°，
則系統(tǒng)電勢能ε=-$\frac{\sqrt{2}}{2}qEl$=$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）電勢能最小時，機械能最大，由2的結(jié)論，系統(tǒng)電勢能總和為ε=-qElcosθ
即當θ=90°，電勢能最小ε_min=-q E l      
初始位置時，電勢能和機械能均為零，則此時，E_機max=qEl=$\frac{1}{2}$mgl．
答：（1）F至少為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$mg．方向與AB成45度角斜向上．
（2）A球的角速度為$\sqrt{\frac{（8-\sqrt{2}）g}{6l}}$，系統(tǒng)電勢能的總和為$-\frac{\sqrt{2}}{4}$mgl．
（3）OB轉(zhuǎn)過90°時，系統(tǒng)機械能最大，最大機械能為$\frac{1}{2}mgl$．

點評 本題考查了力矩平衡、系統(tǒng)動能定理、能量守恒的總和運用，知道電場力做功等于電勢能的減小量．知道當電勢能最小時，機械能最大．