Question

19．如圖所示，一質(zhì)量M=1．Okg的沙擺，用輕繩懸于天花板上O點(diǎn)．另有一玩具槍能連續(xù)發(fā)射質(zhì)量m=0.01kg．速度v=4．Om/s的小鋼珠．現(xiàn)將沙擺拉離平衡位置，由高h(yuǎn)=0.20m處無初速度釋放，恰在沙擺向右擺到最低點(diǎn)時(shí)，玩具槍發(fā)射的第一顆小鋼珠水平向左射入沙擺，二者在極短時(shí)間內(nèi)達(dá)到共同速度．小鋼珠射入沙擺的過程中，沙擺的質(zhì)量保持不變，不計(jì)空氣阻力，g取lOm/s²
（1）求第一顆小鋼珠射入沙擺前的瞬間，沙擺的速度大小v₀；
（2）求第一顆小鋼珠射入沙擺后，沙擺和小鋼珠的共同速度
（3）從第二顆小鋼球開始，沙擺向左運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)打入小鋼球．若使沙擺被小鋼珠射入后擺起的最大高度超過h，則射入沙擺的小鋼球的顆數(shù)應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）在砂擺向下運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，由動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律可以求出砂擺到達(dá)水平位置時(shí)的速度．
（2）鋼珠射入砂擺的過程中，兩者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出鋼珠射入砂擺后的瞬間，砂擺的速度．
（3）鋼珠射入砂擺的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出n顆鋼珠射入砂擺后，砂擺的速度；砂擺要回到釋放時(shí)的高度，砂擺在最低點(diǎn)時(shí)的速度應(yīng)大于等于砂擺第一次到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．

解答 解：（1）砂擺從釋放到最低點(diǎn)，由動(dòng)能定理：
Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₀^2-0，
解得：v₀=$\sqrt{2gh}$=2m/s；
（2）小鋼球打入砂擺過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，選向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
Mv₀-mv=（M+m）v₁，
解得：v₁=$\frac{M{v}_{0}-mv}{M+m}$≈1.94m/s；
（3）第2顆小鋼球打入過程，選向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
（M+m）v₁+mv=（M+2m）v₂，
第3顆小鋼球打入過程，同理可得：
（M+2m）v₂+mv=（M+3m）v₃，
…
第n顆小鋼球打入過程，同理可得：
[M+（n-1）m]v_n-1+mv=（M+nm）v_n，
聯(lián)立各式得：（M+m）v₁+（n-1）mv=（M+nm）v_n，
解得：v_n=$\frac{（M+m）{v}_{1}+（n-1）mv}{M+nm}$，
當(dāng)?shù)趎顆小鋼球射入后，砂擺要能達(dá)到初始釋放的位置，
砂擺速度滿足：v_n≥v₀，
解得：n≥$\frac{（M+m）{v}_{1}-mv-M{v}_{0}}{m（{v}_{0}-v）}$=4，
所以，當(dāng)?shù)?顆小鋼球射入砂擺后，砂擺能達(dá)到初始釋放的高度，若要沙擺被小鋼珠射入后擺起的最大高度超過h，則射入沙擺的小鋼球的顆數(shù)應(yīng)大于4．
答：（1）第一顆小鋼珠射入砂擺前的瞬間，砂擺的速度為2m/s．
（2）第一顆小鋼珠射入沙擺后，沙擺和小鋼珠的共同速度為1.94m/s．
（3）若要沙擺被小鋼珠射入后擺起的最大高度超過h，則射入沙擺的小鋼球的顆數(shù)應(yīng)大于4．

點(diǎn)評(píng) 動(dòng)量是矢量，動(dòng)量守恒定律方程是矢量方程，在應(yīng)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)，要注意正方向的選擇，難度適中．