Question

11．如圖所示，在半徑為R質(zhì)量分布均勻的鉛球中挖取一球形空穴，空穴與原球面最高點(diǎn)相切，并通過(guò)鉛球的球心，在未挖去空穴前鉛球的質(zhì)量為M，求挖去空穴后的鉛球相對(duì)水平地面的重力勢(shì)能是多大？

Answer 1

分析 根據(jù)體積關(guān)系，求出挖去部分的質(zhì)量．用沒(méi)挖之前球的重力勢(shì)能，減去被挖部分的重力勢(shì)能，就是剩余部分的重力勢(shì)能．

解答 解：根據(jù)m=$ρV=ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$知，挖去部分的半徑是球半徑的一半，則質(zhì)量是球體質(zhì)量的$\frac{1}{8}$，
所以挖去部分的質(zhì)量為：$M′=\frac{1}{8}M$．
沒(méi)挖之前，球體的重力勢(shì)能：E_P1=MgR，
挖去部分m的重力勢(shì)能：${E}_{P2}=mg（\frac{3}{2}R）=\frac{1}{8}M•\frac{3}{2}gR=\frac{3}{16}MgR$
所以挖去空穴后的鉛球相對(duì)水平地面的重力勢(shì)能：${E}_{P}={E}_{P1}-{E}_{P2}=MgR-\frac{3}{16}MgR=\frac{13}{16}MgR$
答：挖去空穴后的鉛球相對(duì)水平地面的重力勢(shì)能是$\frac{13}{16}MgR$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要采用割補(bǔ)法的思想，根據(jù)整體球M在的重力勢(shì)能減去割掉的小球重力勢(shì)能等于剩余空腔部分的重力勢(shì)能．掌握割補(bǔ)思想是解決本題的主要入手點(diǎn)．