Question

3．如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑斜面BC傾角為θ，固定面AB垂直于斜面．在斜面上放置質(zhì)量為m的長(zhǎng)木板，木板中央放置質(zhì)量為m的小物塊，木板和小物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{3}{2}$tanθ，現(xiàn)同時(shí)給木板和小物塊沿斜面向上的初速度v₀．假設(shè)木板與固定面AB發(fā)生碰撞的時(shí)間極短，碰撞前后瞬間速率相等，運(yùn)動(dòng)過程中小物塊始終沒有從木板上滑落．已知重力加速度為g，求：
（1）木板第一次上升的最大高度；
（2）木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率．

Answer 1

分析 （1）木板和小物塊第一次上升過程中，無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，木板機(jī)械能守恒，可求得最大高度．
（2）木板與AB發(fā)生第一次碰撞前，木板和小物塊均無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且機(jī)械能守恒．木板與AB發(fā)生第一次碰撞后仍以速度v₀向上減速運(yùn)動(dòng)，小物塊則以速度v₀向下減速運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律求得兩者的加速度．分析木板的運(yùn)動(dòng)情況，求出第一次碰撞后兩者速度相等所用時(shí)間，再速度位移公式求木板上滑的距離和木板上滑的距離，從而分析兩者的運(yùn)動(dòng)情況，再得到木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率．

解答 解：（1）木板和小物塊第一次上升過程中，無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，木板機(jī)械能守恒，有
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
（2）木板與AB發(fā)生第一次碰撞前，木板和小物塊均無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且機(jī)械能守恒．木板與AB發(fā)生第一次碰撞后仍以速度v₀向上減速運(yùn)動(dòng)，小物塊則以速度v₀向下減速運(yùn)動(dòng)．設(shè)此時(shí)木板上滑、小物塊下滑的加速度大小分別為a₁、a₂，由牛頓第二定律有
 mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
  μmgcosθ-mgsinθ=ma₂
因?yàn)閍₁＞a₂，所以木板先減速到零．之后小物塊仍以加速度a₂向下減速，木板則以加速度a₁向下加速．設(shè)沿斜面向下為正方向，速度相等時(shí)的速度為v，所用時(shí)間為t，有
  v=-v₀+a₁t
  v=v₀-a₂t
解得 v=$\frac{2}{3}{v}_{0}$≈0.67v₀；
木板上滑的距離 x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{5gsinθ}$
木板下滑的距離 x₂=$\frac{（\frac{2}{3}{v}_{0}）^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{45gsinθ}$
則△x=x₁-x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{9gsinθ}$
此后木板和小物塊共同向下勻加速運(yùn)動(dòng)，直至木板第二次與AB發(fā)生碰撞，設(shè)木板第二次與AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率為v₂，則
  ${v}_{2}^{2}-（\frac{2}{3}{v}_{0}）^{2}$=2gsinθ•△x
解得 v₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$
答：
（1）木板第一次上升的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$；
（2）木板第二次與固定面AB發(fā)生碰撞時(shí)的速率是$\frac{\sqrt{6}}{3}{v}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是兩個(gè)物體多個(gè)過程的問題，分析物體的運(yùn)動(dòng)過程是基礎(chǔ)，把握臨界條件是解題的關(guān)鍵，解題的基本規(guī)律是牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式．