Question

如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速拋出．己知物塊碰地彈起時沿豎直方向的分速度的大小與碰前沿豎直方向的分速度的大小之比為（＜1）．又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動摩擦系數(shù)為（≠0）：每次碰撞過程的時間都非常短，而且都是“餅面”著地．求物塊沿水平方向運動的最遠距離．

Answer 1

設物塊在點第一次與地面碰撞，碰撞前水平速度仍為，豎直速度為

                     （1）

碰撞后物塊的豎直速度變?yōu)?sub>，根據(jù)題意，有

                            （2）

設物塊的質量為，碰撞時間為，因為碰撞時間極短，物塊與地面間沿豎直方向的作用力比重力大得多，可忽略重力的作用，這樣，物塊對地面的正壓力的大小為

                              （3）

水平方向動量的變化是水平摩擦力的沖量作用的結果，設水平方向速度變?yōu)?sub>，則有

                                             （4）

由以上各式得

                                                 （5）

同理，在落地點，，…，其碰撞后的豎直分速度分別為

                         

                        

                         …………

                                                            （6）

其水平速度分別為

…………

                                 （7）

由式（6）可知，只有當碰撞次數(shù)時，碰地后豎直方向的分速度才趨向于零，但物塊對地面的正壓力的最小值不小于。地面作用于物塊的摩擦力的最小值不小于，因次，物塊沿水平方向的分速度一定經(jīng)歷有限次數(shù)碰撞后即變?yōu)榱�，且不會反向�?/p>

設經(jīng)過次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已經(jīng)足夠小，再經(jīng)過一次碰撞，即在次碰撞結束后，水平方向的分速度恰好變?yōu)榱�。�?sub>，由式（7）

                 

  

兩邊取對數(shù)

                   （8）

令

                                             （9）

若恰為整數(shù)，這表示這次碰撞中，經(jīng)過整個碰撞時間，水平速度變?yōu)榱�，則碰撞次數(shù)

                        

有                                                         （10）

若不是整數(shù)，此種情況對應于在次碰撞結束前，即在小于碰撞時間內，水平速度變?yōu)榱�。則碰撞次數(shù)

                      

有

                              （11）

表示的整數(shù)部分。

由于經(jīng)過次碰撞，物塊沿水平方向的分速度已為零，但豎直方向的分速度尚未為零，故物塊將在處作上下跳躍，直到，即，最后停止在處。物塊運動的最遠水平距離。下面分別計算每次跳躍的距離。

                             （12）

               

                 

…………

                 （13）

所求距離為上述所有量的總和，為

 

                                      （14）

分別求級數(shù)的和：

                    （15）

        

                                    （16）

將以上兩個關系式和代入式（14），得

            （17）

式中由式（10）或式（11）決定。

評分標準：本題25分。

式（6）3分，式（7）6分，式（8）4分，式（10）2分，式（11）2分，式（14）5分，求得式（17）并說明的取值，給3分。