Question

20．一種電子靶向治療儀的內(nèi)部有一段絕緣的彎管，由兩段半徑為R的$\frac{1}{4}$圓管和一段可伸縮調(diào)節(jié)的直管BC組成，彎管定位在豎直平面坐標(biāo)系xoy上，治療儀工作時(shí)可以根據(jù)需要給彎管空間施加上不同方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，用以控制具有放射性的藥物小球，如圖所示，現(xiàn)讓一大小和管口吻合、帶正電的藥物小球從距離管口A正上方5R的位置自由下落，當(dāng)小球進(jìn)入管口時(shí)，治療儀開始在整個(gè)空間施加勻強(qiáng)電場(chǎng)．忽略空氣阻力和摩擦，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m帶電量為q，請(qǐng)解答：
（1）若小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中速度大小保持不變，求所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．
（2）調(diào)節(jié)BC長(zhǎng)度值2.5R，若小球在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中的速度逐漸減小，且小球脫離管口D時(shí)對(duì)圓管無作用力，脫離后小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，求所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向．
（3）若所加的電場(chǎng)如（2）中所述，求當(dāng)BC分別取何值時(shí)小球與y軸的交點(diǎn)和管口A的距離有極值，并寫出極值的區(qū)間范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平衡條件可求得電荷受到的電場(chǎng)力，則可求得電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�
（2）分別對(duì)水平方向和豎直方向進(jìn)行分析； 豎直方向上根據(jù)平衡條件可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的分量；再對(duì)水平方向根據(jù)動(dòng)能定理可求得水平分量；再根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解規(guī)律可求得合場(chǎng)強(qiáng)；
（3）分析電荷的運(yùn)動(dòng)過程，明確當(dāng)?shù)竭_(dá)出口速度為零時(shí)為極小值；再根據(jù)動(dòng)能定理列式，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律可求得極大值．

解答 解：（1）要使速度不變，則物體受力平衡，
則有：mg=Eq
解得：E=$\frac{mg}{q}$；方向豎直向上；
（2）令電場(chǎng)的水平分量為E₁，豎直分量為E₂
根據(jù)題意可知，豎直方向處于平衡狀態(tài)，則有：E₂=$\frac{mg}{q}$
球自由下落至A，根據(jù)動(dòng)能定理：
5mgR=$\frac{1}{2}$mv²
得v²=10gR    （1）
對(duì)球從A至D，根據(jù)動(dòng)能定理：
-q E₁（2R+2.5R）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²（2）
又有：q E₁=$\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$              （3）
由（1）（2）（3）得：E₁=$\frac{mg}{q}$
E=$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$； 方向：指向西北方向
（3）當(dāng)球達(dá)D端出口速度v₁=0時(shí)，y有最小值0，設(shè)此時(shí)BC=x₁
根據(jù)動(dòng)能定理：-q E₁ （2R+x₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv² 得：x₁=3R
設(shè)BC=x₂時(shí)y有最大值
-q E₁ （2R+x₂）=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv²
得：v₁=$\sqrt{6gR-2g{x}_{2}}$
水平方向有：2R+x₂=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$gt² 得：t=$\sqrt{\frac{4R+2{x}_{2}}{g}}$
y=v₁t=$\sqrt{（6R-2{x}_{2}）（4R+2{x}_{2}）}$≤$\frac{1}{2}$（6R-2x₂+4R+2x₂）
由數(shù)學(xué)規(guī)律可知：當(dāng)x₂=0.5R時(shí)，y_m=5R
故：y∈[0，5R]
答：（1）所加電場(chǎng)大小為$\frac{mg}{q}$；方向豎直向上；
（2）所加電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)$\frac{\sqrt{2}mg}{q}$； 指向西北方向；
（3）當(dāng)BC為3R時(shí)有極小值；而當(dāng)x₂=0.5R有極大值；極值的區(qū)間范圍為y∈[0，5R]

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以及動(dòng)能定理等的應(yīng)用，要注意明確物理過程，正確受力分析，再根據(jù)題意選擇正確的物理規(guī)律求解；本題難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)規(guī)律的應(yīng)用，要掌握常用的極值的計(jì)算方法．