Question

2．如圖所示，光滑的半圓形細管，固定在豎直平面內，在管的下端處與粗細相同的水平直管相切，并連接光滑，一小球以v₀的速度從連接處進入半圓形管，欲使小球經過最高點時對管壁有向下的壓力，v₀應滿足2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$．

Answer 1

分析 若小球在最高點時對管壁有向下的壓力，則管壁對小球有向上的支持力，則小球所受重力和支持力的合力提供向心力，小球的速度再根據從最低點到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒即可求解范圍．

解答 解：在最高點小球的重力和管壁對小球的支持力提供向心力，
則mg-T=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
當T=0時，速度最大，
解得：v=$\sqrt{gr}$
所以當0≤v＜$\sqrt{gr}$時，小球在最高點時對管壁有向下的壓力，
從最低點到最高點的過程中，只有重力做功，由機械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2r+$\frac{1}{2}$mv² 
當v=0時，解得：${v}_{0}=2\sqrt{gr}$，
當v=$\sqrt{gr}$時，解得：${v}_{0}=\sqrt{5gr}$
所以v₀的范圍為：2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$
故答案為：2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$．

點評 本題主要考查了機械能守恒定律、圓周運動向心力公式的直接應用，難度適中．