Question

15．近年來深空探測取得了長足的發(fā)展，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經相繼在火星上著陸，某火星探測器繞火星做勻速圓周運動，測得繞行的周期為T，觀測火星最大張角為θ（如圖所示），已知引力常量為G，火星視為均勻球體．根據上述信息可求出的物理量是（　�。�

• A． 火星質量
• B． 探測器軌道半徑
• C． 火星密度
• D． 探測器運動速度

Answer 1

分析 探測器P繞某星球做勻速圓周運動，由星球的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和幾何知識、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：設火星質量為M，火星探測器質量為m，火星半徑R，軌道半徑為r，由幾何關系$sin\frac{θ}{2}=\frac{R}{r}$
解得$r=\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$
根據萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律得，
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
火星質量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{θ}{2}}$
火星的密度$ρ=\frac{M}{V}$
$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
聯(lián)立$ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}si{n}_{\;}^{3}\frac{θ}{2}}$
根據萬有引力提供向心力列式，火星探測器質量同時出現(xiàn)在等號兩邊，故無法求探測器質量．
因為火星半徑未知，所以火星質量無法求，同時探測器的軌道半徑無法求，所以探測器的運動速度$v=\frac{2πr}{T}$無法計算，所以只有C正確．
故選：C

點評 本題關鍵掌握萬有引力等于向心力這一基本思路，結合幾何知識進行解題，注意根據萬有引力提供向心力只能求解中心天體的質量．