Question

（2007?天津）如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛小車(chē)，左側(cè)靠在豎直墻壁上，小車(chē)的四分之一圓弧軌道AB是光滑的，在最低點(diǎn)B與水平軌道BC相切，BC的長(zhǎng)度是圓弧半徑的10倍，整個(gè)軌道處于同一豎直平面內(nèi)．可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊從A點(diǎn)正上方某處無(wú)初速下落，恰好落入小車(chē)圓弧軌道滑動(dòng)，然后沿水平軌道滑行至軌道末端C處恰好沒(méi)有滑出．已知物塊到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力是物塊重力的9倍，小車(chē)的質(zhì)量是物塊的3倍，不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時(shí)的能量損失．求：
（1）物塊開(kāi)始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的幾倍
（2）物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ

Answer 1

分析：物塊恰好落入小車(chē)圓弧軌道滑動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)受到的圓弧的支持力與重力合力提供向心力，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律即可求出物塊開(kāi)始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度．物塊在小車(chē)BC上滑動(dòng)，通過(guò)摩擦力相互作用，滿足動(dòng)量守恒，然后對(duì)物塊和小車(chē)分別使用動(dòng)能定理即可求出動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

解答：解：（1）、設(shè)物塊的質(zhì)量為m，其開(kāi)始下落處位置距BC的豎直高度為h，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為v，小車(chē)圓弧軌道半徑為R．
由機(jī)械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv²   　　   
在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律得：9mg-mg=m

v2

R

 　　　
聯(lián)立兩式解得：h=4R  　　　　 
∴物塊開(kāi)始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的4倍．
（2）、設(shè)物塊與BC間的滑動(dòng)摩擦力的大小為F，物塊滑到C點(diǎn)時(shí)與小車(chē)的共同速度為v'，物塊在小車(chē)上由B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中小車(chē)對(duì)地面的位移大小為s．依題意，小車(chē)的質(zhì)量為3m，BC長(zhǎng)度為10R．
由滑動(dòng)摩擦公式得：F=μmg    　　　 
由動(dòng)量守恒定律得：mv=（m+3m）v'
對(duì)物塊、小車(chē)分別應(yīng)用動(dòng)能定理，有
物塊：-F（10R+s）=

1

2

mv'²-

1

2

mv²   　　　 
小車(chē)：Fs=

1

2

（3m）v'²-0             
聯(lián)立求得動(dòng)摩擦因數(shù)：μ=0.3 
答：（1）、物塊開(kāi)始下落的位置距水平軌道BC的豎直高度是圓弧半徑的4倍．

   （2）、物塊與水平軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ 為0.3．

點(diǎn)評(píng)：分析物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確物塊和小車(chē)間的相互作用，知道物塊在小車(chē)BC上滑動(dòng)，通過(guò)摩擦力相互作用，物塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，小車(chē)做勻加速運(yùn)動(dòng)，恰好沒(méi)有滑出小車(chē)，說(shuō)明二者速度相等，這樣就可以依次選擇機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理求解．求動(dòng)摩擦因數(shù)選動(dòng)能定理簡(jiǎn)單，因?yàn)椴豢紤]中間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．