Question

18．宇航員站在某一星球表面上H高處的位置，沿水平方向以初速度v₀水平拋出一個小球，小球落在星球表面，測得水平位移為x，已知該星球的半徑為R，萬有引力常量為G，求該星球：
（1）表面的重力加速度g；
（2）該星球的密度ρ；
（3）該星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運(yùn)動，由豎直方向與水平方向的位移公式，即可求得該星球表面的重力加速度g；
（2）運(yùn)用豎直上拋運(yùn)動規(guī)律求出星球表面重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解天體質(zhì)量，從而算出星球的密度；
（3）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ．

解答 解：（1）小球在星球表面做平拋運(yùn)動，
水平方向有：x=v₀t
可得小球運(yùn)動時間為：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$
小球在豎直方向自由落體運(yùn)動，有：H=$\frac{1}{2}$gt²
有小球在星球表面的重力加速度為：g=$\frac{2H}{{t}^{2}}$=$\frac{2H{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$
（2）星球表面的小球所受重力等于星球?qū)π∏虻奈�引力，則有：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
由于V=$\frac{4π{R}^{3}}{3}$
則有：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3H{v}_{0}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$
（3）物體在星球表面附近能做勻速圓周運(yùn)動，其向心力由星球的吸引力提供，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2HR}$
答：（1）該星球表面的重力加速度$\frac{2H{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）該星球的密度$\frac{3H{v}_{0}^{2}}{2πGR{x}^{2}}$；
（3）該星球的第一宇宙速度$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2HR}$．

點(diǎn)評 重力加速度g是天體運(yùn)動研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動其向心力由引力提供．