Question

8．如圖所示，一束截面為圓形半徑為R的平行單色光，垂直射向一玻璃半球的平面，經(jīng)折射后在屏幕S上形成一個(gè)圓形亮區(qū)，已知玻璃半球的半徑為尺，屏幕S到球心的距離為d（d＞3R），不考慮光的干涉和衍射，玻璃對(duì)該光的折射率為n，求
（1）屏幕上被照亮區(qū)域的半徑；
（2）若將題干中單色光改為白光，在屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的邊緣是什么顏色？

Answer 1

分析 （1）光線沿直線從O點(diǎn)穿過玻璃，方向不變．從A點(diǎn)射出玻璃磚的光線方向向右偏折，射到屏幕S上圓形亮區(qū)，作出光路圖，由光的折射定律結(jié)合數(shù)學(xué)幾何知識(shí)求出圓形亮區(qū)的半徑．
（2）當(dāng)光線從空氣垂直射入半圓玻璃磚，光線不發(fā)生改變，當(dāng)入射角小于臨界角時(shí)，光線才能再?gòu)牟ＡТu射出，所以平行白光中的折射率不同，導(dǎo)致臨界角不同，因此偏折程度不同，從而確定圓形亮區(qū)的最外側(cè)的顏色；

解答 解：（1）如圖，單色光剛要發(fā)生全反射時(shí)的臨界光線射在屏幕S上的點(diǎn)E到亮區(qū)中心G的距離r就是所求最大半徑．設(shè)單色光臨界角為C，
由全反射的知識(shí)得：sinC=$\frac{1}{n}$，
又：AB=RsinC=$\frac{R}{n}$，
OB=RcosC=R$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$，BF=AB•tanC=$\frac{R}{n\sqrt{{n}^{2}-1}}$，GF=d-（OB+BF）=d-$\frac{nR}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$，$\frac{GE}{AB}=\frac{GF}{FB}$
所以有r=GE=$\frac{GF}{FB}$•AB=d•$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR
（2）紫色．當(dāng)平行光從玻璃中射向空氣時(shí)，由于紫光的折射率的最大，則臨界角最小，所以首先發(fā)生全反射，因此出射光線與屏幕的交點(diǎn)最遠(yuǎn)．故圓形亮區(qū)的最外側(cè)是紫光．
答：（1）若玻璃半球?qū)Γ?）中最外側(cè)色光的折射率為n，圓形亮區(qū)的最大半徑為d•$\sqrt{{n}^{2}-1}$-nR．
（2）屏幕S上形成的圓形亮區(qū)的最外側(cè)是紫光；

點(diǎn)評(píng) 本題考查光的折射．關(guān)鍵是作出光路圖，根據(jù)幾何知識(shí)求出入射角與折射角，知道折射率和臨界角的關(guān)系，了解各種色光的波長(zhǎng)和折射率的關(guān)系．