Question

15．新課改的要求，使“社團(tuán)課”這一形式脫穎而出，在某中學(xué)社團(tuán)活動(dòng)中，學(xué)生設(shè)計(jì)模擬游戲軌道如圖所示，豎直光滑直軌道OA高度為2R，連接半徑為R的半圓形光滑環(huán)形管道ABC（B為最低點(diǎn)），其后連接$\frac{1}{4}$圓弧環(huán)形粗糙管道CD，半徑也為R，一個(gè)質(zhì)量為m的小球從O點(diǎn)由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)入環(huán)形軌道，從D點(diǎn)水平飛出，下落高度剛好為R時(shí)，垂直落在傾角為30°的斜面上P點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（3）小球在環(huán)形軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力．
（2）小球通過(guò)D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出豎直分速度，通過(guò)小球垂直落在傾角為30°的斜面上，根據(jù)平行四邊形定則求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，即D點(diǎn)的速度．
（3）對(duì)0到D段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出摩擦力對(duì)小球做功的大小．

解答 解：（1）O→B：根據(jù)動(dòng)能定理得，3mgR=$\frac{1}{2}$mυ_B²
解得${v}_{B}=\sqrt{6gR}$．
在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{υ_B^2}{R}$
則壓力N ˊ=N=7mg．
（2）D→P：在豎直方向上，υ_y=$\sqrt{2gR}$
在P點(diǎn)：$\frac{υ_y}{υ_D}$=tan60°
解得υ_D=$\frac{{\sqrt{6gR}}}{3}$．
（3）O→D，根據(jù)動(dòng)能定理得：mgR+W_f=$\frac{1}{2}$mυ_D²
解得W_f=-$\frac{2}{3}$mgR．
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為7mg；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{6gR}}{3}$；
（3）小球在環(huán)形軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做了-$\frac{2}{3}mgR$的功．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理的綜合，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向上和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．