Question

1．神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成．兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示．引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率v和運(yùn)行周期T．
（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m₁、m₂，試求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量m_s的2倍，它將有可能成為黑洞．若可見(jiàn)星A的速率v=2.7×10⁵m/s，運(yùn)行周期T=4.7π×10⁴s，質(zhì)量m₁=6m_s，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等，角速度相等，求出A、B軌道半徑的關(guān)系，從而得知A、B距離為A衛(wèi)星的軌道半徑關(guān)系，可見(jiàn)星A所受暗星B的引力F_A可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律公式求出質(zhì)量m′．
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式；
（3）根據(jù)第（2）問(wèn)的表達(dá)式求出暗星B的質(zhì)量，與太陽(yáng)的質(zhì)量進(jìn)行比較，判斷是否是黑洞

解答 解：（1）設(shè)A、B圓軌道半徑分別為r₁、r₂，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，設(shè)其為ω．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：
F_A=m₁ω²r₁，F(xiàn)_B=m₂ω²r₂，
又 F_A=F_B
設(shè)A、B之間的距離為r，又r=r₁+r₂，
由以上各式得r=$\frac{{m}_{1}{+m}_{2}}{{m}_{2}}{r}_{1}$…①
由萬(wàn)有引力定律，有F_A=G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$
將①代入得：F_A=G$\frac{{m}_{1}{{m}_{2}}^{3}}{{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}{r}_{1}}^{2}}$，
令 F_A=G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$
比較可得：m′=$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$…②
（2）由牛頓第二定律，有G$\frac{{m}_{1}m′}{{{r}_{1}}^{2}}$=m₁$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$…③
又可見(jiàn)星A的軌道半徑：r₁=$\frac{vT}{2π}$…④
由②③④式解得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$…⑤
（3）將m₁=6m_s代入⑤式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{（6{m}_{s}+{m}_{2}）^{2}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
代入數(shù)據(jù)得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$=3.5m_s …⑥
設(shè)m₂=nm_s（n＞0），將其代入⑥式，得：$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}=\frac{n}{（\frac{6}{n}+1）^{2}}{m}_{s}$…⑦
可見(jiàn)，$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{（6{m}_{s}+{m}_{2}）}^{2}}$的值隨n的增大而增大，試令n=2，得：$\frac{n}{{（\frac{6}{n}+1）}^{2}}{m}_{s}$=0.125m＜3.5m_s…⑧
若使⑦式成立，則n必大于2，即暗星B的質(zhì)量m₂必大于2m，由此得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}$；
（2）暗星B的質(zhì)量m₂與可見(jiàn)星A的速率v為、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m₁之間的關(guān)系式為$\frac{{{m}_{2}}^{3}}{{{（{m}_{1}+{m}_{2}）}^{2}}^{\;}}=\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（3）暗星B有可能是黑洞

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于雙星問(wèn)題一定要抓住兩個(gè)條件：一是周期相同；二是半徑之和等于他們的距離，運(yùn)用隔離法，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題．