Question

12．地球質(zhì)量為M，半徑為R，萬(wàn)有引力恒量為G，發(fā)射一顆繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，近地衛(wèi)星的速度稱為第一宇宙速度．
（1）試推導(dǎo)由上述各量表達(dá)的第一宇宙速度的計(jì)算式，要求寫出推導(dǎo)依據(jù)．
（2）若已知第一宇宙速度的大小約為v=8.0km/s，地球半徑R=6.4×10³km，萬(wàn)有引力恒量G=$\frac{2}{3}$×10^-10N•m²/kg²，求地球質(zhì)量（結(jié)果要求二位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 繞地球表面附近做圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，可認(rèn)為其軌道半徑是地球的半徑R，可利用萬(wàn)有引力提供它做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)進(jìn)行求解

解答 解：（1）萬(wàn)有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（2）萬(wàn)有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
故地球質(zhì)量$M=\frac{{v}_{\;}^{2}R}{G}=\frac{（8.0×1{0}_{\;}^{3}）_{\;}^{2}×6.4×1{0}_{\;}^{5}}{6.67×1{0}_{\;}^{-11}}$=$6.1×1{0}_{\;}^{24}kg$
答：（1）第一宇宙速度的計(jì)算式：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（2）地球的質(zhì)量$6.1×1{0}_{\;}^{24}kg$

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是解決這類題目的突破口，找出需要的數(shù)據(jù)列萬(wàn)有引力定律提供向心力公式即可．