Question

15．有一種“質(zhì)譜儀”，由加速電場(chǎng)、靜電分析器和電檢測(cè)器組成，如圖所示，靜電分析器的通道中心線是半徑為L(zhǎng)的$\frac{1}{4}$圓弧，通道內(nèi)內(nèi)有均勻輻射電場(chǎng)且中心線的電場(chǎng)強(qiáng)度為E₁（大小可調(diào)節(jié)）．檢測(cè)電場(chǎng)為有理想邊界水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E₂=$\frac{4{U}_{0}}{L}$，分布在水平直線AB下方及傾斜直線AC的左側(cè)區(qū)域，AC與水平成θ角，tanθ=2，貼近邊界AC有一長(zhǎng)度為2L的熒光屏可記錄離子打熒光屏上的位置．離子放射源O釋放質(zhì)量為m，帶電量為q的負(fù)離子流（初速不計(jì)），經(jīng)電壓為U的電場(chǎng)加速后離子流總能沿中心線通過(guò)靜電分析器，離子離開靜電分析器從A點(diǎn)垂直檢測(cè)電場(chǎng)E₂，不計(jì)離子的重力及離子間的相互作用．
（1）試確定靜電分析器中心線處的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與加速電壓U的關(guān)系；
（2）如果加速電壓U在0.8U₀≤U≤1.2U₀范圍內(nèi)變化，通過(guò)控制輻射電場(chǎng)E₁總能讓離子沿中心線運(yùn)動(dòng)從A點(diǎn)射入電場(chǎng)，求熒光屏上記錄線長(zhǎng)度；
（3）在滿足（2）的情況下，如果將熒光屏繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，試確定熒光屏上記錄線的最大長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）離子在加速電場(chǎng)中加速時(shí)，電場(chǎng)力做功，動(dòng)能增加，根據(jù)動(dòng)能定理列出方程；粒子進(jìn)入靜電分析器，靠電場(chǎng)力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律列出方程，即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與加速電壓U的關(guān)系．
（2）離子進(jìn)入下面的電場(chǎng)區(qū)域的后做類平拋運(yùn)動(dòng)，將其進(jìn)行正交分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合，可求解．
（3）結(jié)合（2）的分析，討論不同的條件下熒光屏上記錄線長(zhǎng)度的最大值的條件與對(duì)應(yīng)的數(shù)值即可．

解答 解：（1）離子在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
離子在輻向電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力提供向心力，由牛頓第二定律得：qE₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：U=$\frac{1}{2}$E₁R；
（2）離子在電場(chǎng)E₂中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向：y=vt…②
水平方向：x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{2}}{m}•{t}^{2}$…③
又：$\frac{y}{x}=tanθ$…④
聯(lián)立②③④得：$t=\frac{2mv}{q{E}_{2}•tanθ}=\frac{2mv}{q•\frac{4{U}_{0}}{L}×2}=\frac{mvL}{4q{U}_{0}}$…⑤
所以：x=$\frac{m{v}^{2}L}{8q{U}_{0}}$，y=$\frac{m{v}^{2}L}{4q{U}_{0}}$…⑥
聯(lián)系①式，將0.8U₀≤U≤1.2U₀代入⑥可得：0.2L≤x≤0.3L；0.4L≤y≤0.6L
所以離A點(diǎn)最近的點(diǎn)的距離：${s}_{min}=\sqrt{{（0.2L）}^{2}+{（0.4L）}^{2}}=0.2\sqrt{5}L$
離A點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)：${s}_{max}=\sqrt{{（0.3L）}^{2}+{（0.6L）}^{2}}=0.3\sqrt{5}L$
則熒光屏上記錄線長(zhǎng)度為：$s={s}_{max}-{s}_{min}=0.1\sqrt{5}L$
（3）如果將熒光屏繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，則屏與電場(chǎng)方向之間的夾角為α，則由⑤得：
t=$\frac{mvL}{2tanα•q{U}_{0}}$
分別代入②和③得：x=$\frac{m{v}^{2}L}{4tanα•q{U}_{0}}$，y=$\frac{m{v}^{2}L}{2tanα•q{U}_{0}}$…⑦
聯(lián)系①式，將0.8U₀≤U≤1.2U₀代入⑦可得：$\frac{0.2L}{tanα}$≤x≤$\frac{0.3L}{tanα}$；$\frac{0.4L}{tanα}$≤y≤$\frac{0.6L}{tanα}$
所以離A點(diǎn)最近的點(diǎn)的距離：${s}_{min}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{tanα}$…⑧
離A點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)：${s}_{max}=\sqrt{{（0.3L）}^{2}+{（0.6L）}^{2}}=\frac{0.6\sqrt{5}L}{tanα}$…⑨
由題意，當(dāng)離A點(diǎn)的最大距離等于熒光屏的長(zhǎng)度2L時(shí)，則：$\frac{0.6\sqrt{5}L}{tanα}=2L$
所以：tanα=$\frac{0.6\sqrt{5}L}{2L}=0.3\sqrt{5}$
所以：${s}_{min}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{tanα}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{0.3\sqrt{5}}=\frac{4}{3}L$
則熒光屏上記錄線長(zhǎng)度為：${s}_{MAX}=2L-\frac{4}{3}L=\frac{2}{3}L$
答：（1）靜電分析器中心線處的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁與加速電壓U的關(guān)系為U=$\frac{1}{2}$E₁R；
（2）如果加速電壓U在0.8U₀≤U≤1.2U₀范圍內(nèi)變化，通過(guò)控制輻射電場(chǎng)E₁總能讓離子沿中心線運(yùn)動(dòng)從A點(diǎn)射入電場(chǎng)，熒光屏上記錄線長(zhǎng)度是$0.1\sqrt{5}L$；
（3）在滿足（2）的情況下，如果將熒光屏繞A點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，熒光屏上記錄線的最大長(zhǎng)度是$\frac{2}{3}L$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，往往運(yùn)用動(dòng)能定理研究加速電壓與速度的關(guān)系；對(duì)于電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)問(wèn)題，運(yùn)動(dòng)的分解是常用方法．