Question

5．如圖所示，位于豎直平面上的$\frac{1}{4}$圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，最后落在地面上C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，求：
（1）小球剛運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力多大？
（2）小球在落地點(diǎn)C的速度有多大？
（3）比值$\frac{R}{H}$為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離S最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求小球到達(dá)B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律列式求解小球?qū)�軌道的壓力�?br />（2）小球從A點(diǎn)到C點(diǎn)，再由機(jī)械能守恒定律求出小球在落地點(diǎn)C的速度；
（3）利用數(shù)學(xué)知識分析水平位移的表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）小球由A→B過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
   mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$
小球在B點(diǎn)，根據(jù)向心力公式有；
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力，�?mg．
（2）小球由A→C過程，據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
  mgH=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：v_C=$\sqrt{2gH}$
（3）小球由B→C過程做平拋運(yùn)動，則
水平方向有：S=v_B•t
豎直方向有：H-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 S=2$\sqrt{（H-R）R}$
因?yàn)?H-R=R，由數(shù)學(xué)知識知，當(dāng)H-R=R，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，S在最大值．
答：
（1）小球剛運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力是3mg．
（2）小球在落地點(diǎn)C的速度為$\sqrt{2gH}$．
（3）比值$\frac{R}{H}$為$\frac{1}{2}$時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離S最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵對兩個(gè)的運(yùn)動過程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動規(guī)律列式研究水平位移的最大值，這是一種函數(shù)法，要學(xué)會運(yùn)用．