Question

15．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）地球第一宇宙速度v₁的表達(dá)式；
（2）若地球自轉(zhuǎn)周期為T，計(jì)算地球同步衛(wèi)星距離地面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力等于向心力求出地球的第一宇宙速度的表達(dá)式．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力，抓住同步衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，求出地球同步衛(wèi)星距離地面的高度h．

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，對(duì)近地衛(wèi)星列牛頓第二定律方程有：
mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{gR}$．
（2）對(duì)地球的同步衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，列牛頓第二定律方程
有：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
又 GM=gR²
聯(lián)立解得   h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）地球第一宇宙速度v₁的表達(dá)式是$\sqrt{gR}$；
（2）若地球自轉(zhuǎn)周期為T，計(jì)算地球同步衛(wèi)星距離地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．