Question

2．如圖所示，一段固定的光滑圓弧軌道的圓弧AB所在圓的半徑為4m，A，B間的高度為3.2m，圓弧上B點(diǎn)的切線水平，一質(zhì)量為1.5kg的平板車停靠在圓弧軌道邊，平板車上表面與B點(diǎn)等高，平板車右端固定一檔板，水平地面光滑，一質(zhì)量為0.5kg的物塊從圓弧軌道的A點(diǎn)由靜止釋放，沿圓弧軌道滑行后滑上平板車，已知物塊與平板車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，平板車長(zhǎng)L=6m，g=10m/s²，求：
（1）物塊滑到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力；
（2）物塊與平板車擋板相碰前一瞬間，物塊與平板車的速度大��；
（3）若物塊與擋板碰撞后的一瞬間速度為零，且物塊最終停在離擋板$\frac{8}{9}$m處，則物塊與擋板相碰過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出物塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)它的支持力，即可得到物塊對(duì)軌道的壓力．
（2）物塊滑上小車后，小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出各自的加速度．根據(jù)物塊的位移與小車的位移之差等于車長(zhǎng)L列式，求出時(shí)間，再由速度公式求解即可．
（3）根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，求出速度相等時(shí)的共同速度，由能量守恒定律對(duì)系統(tǒng)列式，求出損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）物塊從A端下滑到B端，由機(jī)械能守恒得
 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×4}$=4$\sqrt{5}$m/s
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得
  F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得軌道對(duì)物塊的支持力 F_N=3 mg=15 N
由牛頓第三定律可知，物塊對(duì)軌道的壓力為15 N．方向豎直向下．
（2）物塊滑上小車后，小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊和小車的加速度大小分別為a₁和a₂．
則 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²
a₂=$\frac{μmg}{M}$=1m/s²；
設(shè)歷時(shí)為t時(shí)物塊與擋板相碰，則
  L=（v_Bt-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$）-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
解得 t=1s（另一值不合理舍去）
故物塊與平板車擋板相碰前一瞬間，物塊的速度為 v₁=v_B-a₁t=5m/s
平板車的速度 v₂=a₂t=1m/s
（3）設(shè)物塊與小車的共同速度為v．
取向右為正方向，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒得：
  mv_B=（M+m）v，得 v=2m/s
根據(jù)能量守恒定律得
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=μmg△S+$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$+△E
式中：△S=L+$\frac{8}{9}$m=$\frac{62}{9}$m
解得物塊與擋板相碰過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=$\frac{5}{3}$J≈1.67J
答：
（1）物塊滑到B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力是15N，方向豎直向下；
（2）物塊與平板車擋板相碰前一瞬間，物塊與平板車的速度大小分別為5m/s和1m/s；
（3）物塊與擋板相碰過(guò)程系統(tǒng)損失的機(jī)械能是1.67J．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒、牛頓第二定律、動(dòng)量守恒和能量守恒的綜合應(yīng)用，知道物塊相對(duì)小車滑行的距離，常常根據(jù)能量守恒定律研究能量問(wèn)題．