Question

15．兩個(gè)靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠(yuǎn)，它們以其連線(xiàn)上某一點(diǎn)O為圓心各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個(gè)天體稱(chēng)為“雙星”，如圖所示．已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，運(yùn)行軌道半徑分別為r₁和r₂，運(yùn)行的周期分別為T(mén)₁和T₂，它們之間的距離為L(zhǎng)．則（　�。�

• A． 它們運(yùn)行的軌道半徑與質(zhì)量成正比
• B． 它們運(yùn)行的軌道半徑與質(zhì)量成反比
• C． 它們運(yùn)行的軌道半徑與質(zhì)量無(wú)關(guān)
• D． 它們運(yùn)行的運(yùn)行的周期T₁=T₂=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$

Answer 1

分析 雙星以?xún)烧哌B線(xiàn)上某點(diǎn)為圓心，各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由對(duì)方的萬(wàn)有引力提供，而且雙星的條件是角速度相同，根據(jù)牛頓第二定律隔離兩個(gè)天體分別研究，再求解雙星運(yùn)行軌道半徑和周期．

解答 解：A、根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，得：
m₁ω²r₁=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$，
m₂ω²r₂=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$，
設(shè)A、B之間的距離為L(zhǎng)，又L=r₁+r₂，
由上述各式得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，${r}_{2}=\frac{{m}_{1}L}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，則它們運(yùn)行的軌道半徑與質(zhì)量有關(guān)系，但既不成正比，也不成反比，故ABC錯(cuò)誤；
D、根據(jù)$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}$得：T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：周期相同，難度適中．