17.如圖所示,半圓形光滑滑槽固定放在水平面右側(cè),左側(cè)有一木板,木板右端B與滑槽人口C相距7m,且木板上表面與滑槽入口等高.某時刻一小物塊以9m/s的初速度滑上木板.木板與半圓形滑槽碰撞后靜止不動,小物塊沖入半圓形滑槽.已知木板的長度L=4.5m、質(zhì)量m1=1kg,與地面間的動摩擦因數(shù)μ1=0.1,小物塊的質(zhì)量m2=2kg,與木板之間的動摩擦因數(shù)μ2=0.4,小物塊可以看做質(zhì)點(diǎn),取重力加速度的大小g=l0m/S2.求:
(1)小物塊剛滑上木板時,木板的加速度;
(2)木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度;
(3)為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動的過程中不脫離滑槽,滑槽半徑的取值范圍.

分析 (1)分析小物塊和木板的受力情況,由牛頓第二定律求出兩者的加速度.
(2)由速度時間公式求出物塊與木板速度達(dá)到相同經(jīng)歷的時間,求得共同速度.由位移時間公式求出兩者對地的位移,得到相對位移,判斷物塊是否滑出木板,可知兩者共速后一起勻減速運(yùn)動,由牛頓第二定律求整體的加速度,由位移速度關(guān)系公式求出木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度.
(3)小物塊在滑槽內(nèi)滑動的過程中不脫離滑槽,有兩種情況:一種情況是物塊能到達(dá)D點(diǎn),由D點(diǎn)的臨界速度和動能定理結(jié)合求滑槽半徑.另一種情況是物塊最大高度到達(dá)E點(diǎn),由動能定理求滑槽半徑,最后得到滑槽半徑的取值范圍.

解答 解:(1)對物塊,由牛頓第二定律得 μ2m2g=m2a2
可得物塊的加速度大小為 a22g=4m/s2
木板的加速度大小為 a1=$\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g-{μ}_{1}({m}_{1}+{m}_{2})g}{{m}_{1}}$=5m/s2
(2)設(shè)物塊和木板達(dá)到共同速度為v1的時間為t,則
   v1=a1t=v0-a2t
代入數(shù)據(jù)解得 t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{9}{5+4}$=1s
   v1=a1t=5×1=5m/s
此過程中木板的位移為 x1=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×{1}^{2}$=2.5m<7m
小物塊的位移 x2=$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}t$=$\frac{9+5}{2}×1$=7m
物塊與木板的相對位移為△x=x2-x1=7m-2.5m=4.5m
因?yàn)椤鱴=L,所以物塊剛好滑至木板的右端時,兩者具有共同速度,假設(shè)木板與物塊一起勻減速運(yùn)動,加速度大小為 a3=$\frac{{μ}_{1}({m}_{1}+{m}_{2})g}{{m}_{1}+{m}_{2}}$=μ1g=1m/s2.因?yàn)閍3<a2,所以物塊和木板一起減速.
設(shè)滑行到C處的速度為vC,根據(jù)速度位移關(guān)系有
  ${v}_{1}^{2}-{v}_{C}^{2}$=2a3(s-x1
解得 vC=$\sqrt{{v}_{1}^{2}-2{a}_{3}(s-{x}_{1})}$=$\sqrt{{5}^{2}-2×1×(7-2.5)}$=4m/s
即木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度是4m/s.
(2)若物塊恰能滑過槽的最高點(diǎn),設(shè)滑至最高點(diǎn)的速率為vD
由向心力公式有 m2g=m2$\frac{{v}_{D}^{2}}{{R}_{max}}$
物塊從C運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中,根據(jù)動能定理有
-m2g•2Rmax=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 Rmax=0.32m
若物塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)E點(diǎn)時速度為零,則物塊也能沿滑槽運(yùn)動而不脫離滑槽,根據(jù)動能定理得
-m2gRmin=0-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 Rmin=0.8m
所以為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動的過程中不脫離滑槽,滑槽半徑的取值范圍為R≤0.32m或R≥0.8m.
答:
(1)小物塊剛滑上木板時,木板的加速度是4m/s2;
(2)木板與半圈形滑槽碰撞前瞬間的速度是4m/s;
(3)為使小物塊在滑槽內(nèi)滑動的過程中不脫離滑槽,滑槽半徑的取值范圍為R≤0.32m或R≥0.8m.

點(diǎn)評 本題通過計(jì)算分析木板與滑槽碰撞前物塊與木板的速度是否相同是關(guān)鍵.第2題容易只考慮滑塊通過最高點(diǎn)的情況,而遺漏滑塊恰好滑至$\frac{1}{4}$圓弧到達(dá)E點(diǎn)時速度為零的情況,要培養(yǎng)自己分析隱含的臨界狀態(tài)的能力.

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