Question

16．如圖所示，長L的輕繩系一個質(zhì)量為m的小球懸掛在0點做角速度ω的圓錐擺運動．求：
①懸線與豎直方向的夾角θ；
②若懸點O離地高OO′=H（H＞L），在某一時刻懸線突然斷了，則m的落地點離O′的距離是多少？

Answer 1

分析 ①小球在重力和拉力的合力作用下做勻速圓周運動，靠兩個力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出θ．
②懸線斷后，小球?qū)⒆銎綊佭\動，運用分解法，結(jié)合幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：①根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=mLsinθ•ω²，
解得：$θ=arccos\frac{g}{L{ω}^{2}}$．
②根據(jù)H-Lcosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2（H-Lcosθ）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2H}{g}-\frac{2}{{ω}^{2}}}$，
s=Lωsinθ•t，
根據(jù)幾何關(guān)系知：$d=\sqrt{{s}^{2}+（Lsinθ）^{2}}$，
聯(lián)立解得：d=$\sqrt{（1-\frac{{g}^{2}}{{ω}^{4}{L}^{2}}）（\frac{2{ω}^{2}{L}^{2}H}{g}-{L}^{2}）}$．
答：①懸線與豎直方向的夾角θ是arccos$\frac{g}{L{ω}^{2}}$．
②若懸點O離地高OO'=H（H＞L），在某一時刻懸線突然斷了，則m的落地點離O'的距離是$\sqrt{（1-\frac{{g}^{2}}{{ω}^{4}{L}^{2}}）（\frac{2{ω}^{2}{L}^{2}H}{g}-{L}^{2}）}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運動向心力的來源，運用牛頓第二定律進行求解．