Question

8．我國的“玉兔號(hào)”月球車于2013年12月14日晚成功降落在月球虹灣區(qū)，開始探測科考．機(jī)器人“玉兔號(hào)”在月球表面做了一個(gè)豎直上拋試驗(yàn)，測得物體從月球表面以初速度v₀豎直向上拋出上升的最大高度為h，已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．則下列說法中正確的是（　�。�

• A． 月球表面重力加速度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{h}$
• B． 月球的第一宇宙速度為v₀$\sqrt{\frac{2h}{R}}$
• C． 月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}R{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R
• D． 月球的平均密度為$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)，求出星球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求在該星球表面附近繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的周期和該星球的第一宇宙速度，根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}$求解星球質(zhì)量．

解答 解：A、在月球表面以初速度v₀豎直上拋出一物體，則該物體上升的最大高度為h．由${{v}_{0}}^{2}=2gh$，可得月球表面重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，故A錯(cuò)誤；
B、在月球表面附近繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度即為第一宇宙速度，則$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\sqrt{gR}={v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$，故B錯(cuò)誤；
C、月球同步衛(wèi)星的周期與月球自轉(zhuǎn)周期相同，則$G\frac{Mm}{（h+R）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，而$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得：h=$\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}-R$，故C錯(cuò)誤；
D、月球表面重力與萬有引力相等$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$可以求出星球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，則月球密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{8πGhR}$，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題得關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁，注意黃金代換式$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$的應(yīng)用，難度適中．